2014年上海春季高考数学试卷详细答案版(最新)

12014年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共32道试题，满分150分．考试时间120分钟（学业水平考，共29道试题，满分120分．考试时间90分钟；其中第30-32题为附加题，满分30分．考试时间30分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．若416x，则x．2．计算：(1)=ii（i为虚数单位）．3．1、1、2、2、5这五个数的中位数是．4．若函数3()fxxa为奇函数，则实数a．5．点(0,0)O到直线40xy的距离是．6．函数11yx的反函数为．7．已知等差数列na的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和nS．8．已知1cos3，则cos2．9．已知a、bR。若1ab，则ab的最大值是．10．在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是（结果用数值表示）．11．某货船在O处看灯塔M在北偏东30方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B处，看到灯塔M在北偏东75方向，此时货船到灯塔M的距离为海里．12．已知函数2()1xfxx与()1gxmxm的图像相交于A、B两点.若动点P满足2PAPB，的轨迹方程为．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．两条异面直线所成的角的范围是（）()A(0,)2；()B(0,]2；()C[0,)2；()D[0,]214．复数2i（i为虚数单位）的共轭复数为（）()A2i；()B2i；()C2i；()D12i15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（）()Asinyx；()Bsin2yx；()Ccosyx；()Dcos2yx16．在4(1)x的二项展开式中，2x项的系数为（）()A6；()B4；()C2；()D117．下列函数中，在R上为增函数的是（）()A2yx；()Byx；()Csinyx；()D3yx18．cossinsincos（）()Acos2；()Bsin2；()C1；()D119．设0x为函数()22xfxx的零点，则0x（）()A(2,1)；()B(1,0)；()C(0,1)；()D(1,2)20．若ab，cR，则下列不等式中恒成立的是（）()A11ab；()B22ab；()Cacbc；()D2211abcc21．若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（）()A2:3()B4:9()C8:27()D22:3322．已知数列na是以q为公比的等比数列．若2nnba，则数列nb是（）()A以q为公比的等比数列；()B以q为公比的等比数列；3()C以2q为公比的等比数列；()D以2q为公比的等比数列23．若点P的坐标为(,)ab，曲线C的方程为(,)0Fxy，则“(,)0Fab”是“点P在曲线C上”的()()A充分非必要条件；()B必要非充分条件；()C充分必要条件；()D既非充分又非必要条件24．如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为（）()A1()B32()C62()D104三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．25．（本题满分7分）已知不等式201xx的解集为A，函数lg(1)yx的定义域为集合B，求AB．26．（本题满分7分）已知函数2()4,[3,3]fxxxax.若(1)2f，求()yfx的最大值和最小值.．（本题满分8分）如图，在体积为13的三棱锥PABC中，PA与平面ABC垂直，1APAB，2BAC，E、F分别是PB、AB的中点.求异面直线EF与PC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分．已知椭圆222:1(1)xCyaa的左焦点为F，上顶点为B.（1）若直线FB的一个方向向量为3(1,)3，求实数a的值；（2）若2a，直线:2lykx与椭圆C相交于M、N两点，且3FMFN，求实数k的值．5Bi............A2AiB1B2A1CBA29．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.已知数列na满足0na，双曲线221:1()nnnxyCnNaa.（1）若121,2aa，双曲线nC的焦距为2nc，41ncn，求na的通项公式；（2）如图，在双曲线nC的右支上取点(,)nnPPxn，过nP作y轴的垂线，在第一象限内交nC的渐近线于点nQ，联结nOP，记nnOPQ的面积为nS.若lim2nna，求limnnS.（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim(0)nnnuAu，则limnnuA）30．（本题满分8分）已知直角三角形ABC的两直角边AC、BC的边长分别为,ba，如图，过AC边的n等分点iA，过BC边的n等分点iB和顶点A作直线il，记id与il的交点为(1,2,,1)iPin．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n，点(1,2,,1)iPin都在这条曲线上？说明理由．31．（本题满分8分）某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131º和147º，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为887.64千米。假设地球赤道是一个半径为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01º）．732．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.如果存在非零常数c，对于函数()yfx定义域R上的任意x，都有()()fxcfx成立，那么称函数为“Z函数”.（1）求证：若()()yfxxR是单调函数，则它是“Z函数”；（2）若函数32()gxaxbx时“Z函数”，求实数,ab满足的条件．参考答案一、填空题（第1题至第12题）1、22、i13、24、05、226、11xy7、2n8、979、4110、12511、2612、1)1()1(22yx二、选择题（第13题至第24题）13、B14、A15、B16、A17、D18、C19、C20、D21、B22、A23、C24、D三、解答题（第25题至第29题）25、解：012xx的解集是)2,1(A；由1,01xx得，即),1(B；因此，)2,1(BA．26、解：由(1)142fa，得5a，22()45(2)1fxxxx，因为当[3,2]x时，()fx单调递减；当[2,3]x时，()fx单调递增；9由于(3)26,(2)1,(3)2fff，所以当[3,3]x时，26)(maxxf，1)(minxf．27、解：由1111.11,3323ABCVSPAAC得AC2，因为PAEF//，所以异面直线EF与PC所成的角为APC，由直角三角形PAC，则2tanAPC，异面直线EF与PC所成角为2arctan．28、解：（1）易知)0,1(),1,0(2aFB，所以)1,1(2aFB又因为)33,1(是直线FB的一个方向向量，所以11332a，因为1a，所以2a．（2）由2a，知)0,1(F，联立068)21(1222222kxxkyxkxy得．设),(),,(2211yxNyxM，则),1(),,1(2211yxFNyxFM，221221216,218kxxkkxx12121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)FMFNxxyyxxkxkx21212(1)(12)()5kxxkxx2811312kk解得2k或23k，又因为0，故2k．29、（1）由题意，141naann则3421naann；两式相减得：42nnaa所以21{}ka是以1为首项，4为公差的等差数列，得2114(1)43kakk；2{}ka是以2为首项，4为公差的等差数列，得224(1)42kakk；所以).(2,2212,12*Nkknnknnan（2）由题意，则2211npnnxnaa，所以21nnpnnaxnaa双曲线的渐近线1:nnOQnalyxa，所以1nnQnaxna，所以2111limlim()2nnnnnnnnaaSnnanaa2111lim2nnnnnnnnaaananaa2111lim2nnnnnnnaaaaaan211lim1lim2limlim1limlimlimlimnnnnnnnnnnnnnnaaaaaan12；所以limnnS=21．30、解：以A为坐标原点，AC方向为x轴，过A作AC的垂线为y轴建立直角坐标系；则,0iiAbn（），），（anibBi，11()iniN；il：xbnaiy，id：bnix；bnixxbnaiy22iiiPbann（，）22ayxb存在满足条件的圆锥曲线（抛物线xbay2）．31、解：如图，建立赤道截面平面图，其中O为球心，BA、分别为甲、乙监测点，C为卫星所在位置，D为卫星在地赤道上的投影（由于题目中未说明C的位置，且ACBC，故有以下三种情况）．11易得6378OAOBOD，016AOB，45.1537AC，64.887BC在AOB中，222cos1775.292ABOAOBOAOBAOBACBC；在ABC中，ACB最大，即BAC、030BAC都是锐角，所以选择第三张图；2223cos22ABACBCBACABAC30.000BAC112.000OAC；在AOC中，222cos7098.543OCACAOACAOOAC；720.543hOCOD，即卫星高度为km54.720；又在BOC中，997.02cos222OCOBBCOCOBBOC4.415BOC；1474.415142.58即卫星位于赤道上东经142.58．32、解：（1）[证明]①当函数)(xfy是单调递增函数时，则)()1(xfxf对任意