2012高考总复习《走向清华北大》精品模块4.5

1第四、五模块三角函数平面向量一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若sin36°cosα－sin54°cos84°＝12，则α值可能为()A．96°B．6°C．54°D．84°解析：∵12＝sin30°＝sin(36°－6°)＝sin36°cos6°－cos36°sin6°＝sin36°cosα－sin54°cos84°，∴cosα＝cos6°，故选B.答案：B2．将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为()A．x＝π9B．x＝π8C．x＝π2D．x＝π解析：将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝cos12x－π3的图象，再向左平移π6个单位长度后得到y＝cos12x＋π6－π3＝cos12x－π4的图象，其对称轴集合为x|x＝2kπ＋π2，k∈Z，x＝π2适合该集合，故选C.答案：C3．函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间－23π，θ上的最大值为1，则θ的值是()A．0B.π3C.π2D．－π2解析：因为f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在区间－2π3，θ上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－π2，故选D.答案：D4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A≠0，ω0，－π2φπ2的图象关于直线x＝2π3对称，2它的周期是π，则()A．f(x)的图象过点0，12B．f(x)的图象在5π12，2π3上递减C．f(x)的最大值为AD．f(x)的一个对称中心是点5π12，0解析：∵T＝π，∴ω＝2，即y＝Asin(2x＋φ)关于直线x＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－56π，k∈Z，又－π2φπ2，∴φ＝π6，即f(x)＝Asin2x＋π6.再用检验法一一验证知D正确．答案：D5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是()解析：当a＝0时，f(x)＝1，图象即为C；当0a1时，三角函数的最大值为1＋a2，且最小正周期为T＝2πa2π，图象即为A；当a1时，三角函数的最大值为a＋12，且最小正周期为T＝2πa2π，图象即为B.故选D.答案：D36．(精选考题·东北三校第一次联考)函数y＝kx＋1(－2≤x0)2sin(ωx＋φ)ω0，0≤x≤8π3)的图象如图，则()A.k＝12，ω＝12，φ＝π6B．k＝12，ω＝12，φ＝π3C．k＝12，ω＝2，φ＝π6D．k＝－2，ω＝12，φ＝π3解析：本题中的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝12.另一个是三角函数，三角函数解析式中的参量ω由三角函数的周期决定，由图象可知三角函数的周期为T＝4×8π3－5π3＝4π，故ω＝12.将点5π3，0代入解析式y＝2sin12x＋φ，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－5π6，k∈Z，结合各选项可知，选项A正确．答案：A7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝(x,0)，AC＝(－1，y)，则动点P(x，y)的轨迹方程是()A．y2＝－x＋1B．y2＝x＋1C．y2＝x－1D．y2＝－x－1解析：BCACAB＝(－1－x，y)，又∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴ACBC＝(－1，y)·(－1－x，y)＝1＋x＋y2＝0，∴y2＝－x－1.故选D.答案：D48．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,2)，则|a＋λb|(λ∈R)的最小值为()A.55B.255C.355D.5解析：∵a＋λb＝(2＋λ，1＋2λ)，∴|a＋λb|＝(2＋λ)2＋(1＋2λ)2＝5λ＋452＋95≥355.当且仅当λ＝－45时，取“＝”，即|a＋λb|的最小值为355.答案：C9．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||||||,0,OAOBOCNANBNC且,PAPBPBPCPCPA则点O，N，P依次是△ABC的(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析：由||||||OAOBOC知，O为△ABC的外心；由0NANBNC知，N为△ABC的重心；∵,PAPBPBPC，∴()PAPCPB＝0，∴CAPB＝0，∴CA⊥PB.同理可得BC⊥PA，AB⊥PC.故选C.答案：C10．在△ABC中，若ACBC＝1，ABBC＝－2，且∠B＝60°，则△ABC的面积为()A．23B.3C.32D.6解析：∵1,ACBCABBC＝－2，∴两式相减得()ACABBC＝3⇒BC2＝3⇒|BC|＝3.5∵ABBC＝－2且∠B＝60°，∴||||ABBCcosB＝2，即|AB|×3×12＝2⇒|AB|＝433，∴△ABC的面积S＝12|AB|×|BC|×sinB＝12×433×3×32＝3.故选B.答案：B11．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为()A．4a－5b＝3B．5a－4b＝4C．4a＋5b＝14D．5a＋4b＝14解析：OA在OC上的投影为4a＋541，OB在OC上的投影为8＋5b41，∴8＋5b＝4a＋5，即4a－5b＝3，故选A.答案：A12．(精选考题·厦门质检题)已知A(2,0)，B(0,1)，O是坐标原点，动点M满足OM＝λOB＋(1－λ)OA，并且OMAB2，则实数λ的取值范围为()A．λ2B．λ65C.65λ2D．1λ2解析：由OM＝λOB＋(1－λ)OA＝(2－2λ，λ)，由OMAB2得：4λ－4＋λ2，解得λ65，故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知tanα＝14，则cos2α＋sin2α的值为________．解析：cos2α＋sin2α＝1－2sin2α＋sin2α＝cos2α＝cos2αcos2α＋sin2α＝11＋tan2α＝1617.答案：161714．若－π4≤x≤π3，则函数y＝cosx＋π4cosx－π4的值域为________．解析：∵y＝cosx＋π4cosx－π4＝6cosx＋π4cosx＋π4－π2＝12sin2x＋π2＝12cos2x，又∵－π4≤x≤π3，∴－π2≤2x≤2π3，∴结合图象得y∈－14，12.答案：－14，1215．在2008年北京奥运会青岛奥帆赛举行之前，为确保赛事安全，青岛海事部门举行奥运安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，3分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________千米/分钟．解析：据已知，在Rt△BCD中，CD＝1，CD＝BD，∴BD＝1，BC＝2.在△ACD中，∠CAD＝45°，∠ADC＝30°，CD＝1.据正弦定理得ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，∴AC＝22.在△ACB中，据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB∵AC＝22，BC＝2，∠ACB＝60°，∴AB＝62，∴v＝623＝66(千米/分钟)．答案：6616．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若,OCxOAyOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值7是________．解析：设∠AOC＝α，,,OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB，即cosα＝x－12ycos(120°－α)＝－12x＋y，∴x＋y＝2[cosα＋cos(120°－α)]＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2.答案：2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bsinC－5csinBcosA＝0.(1)求sinA；(2)若tan(A－B)＝－211，求tanC.解：(1)由正弦定理得bsinC＝csinB.又因为3bsinC－5csinBcosA＝0，所以bsinC(3－5cosA)＝0.因为bsinC≠0，所以3－5cosA＝0，即cosA＝35.又因为A∈(0，π)，所以sinA＝1－cos2A＝45.(2)由(1)知cosA＝35，sinA＝45，所以tanA＝sinAcosA＝43.因为tan(A－B)＝－211，所以tanB＝tan[A－(A－B)]＝tanA－tan(A－B)1＋tanA·tan(A－B)＝43－－2111＋43×－211＝2.所以tanC＝－tan(A＋B)8＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝－43＋21－43×2＝2.18．(12分)受全球金融危机影响，某外贸出口商品的产销价格波动较大．据市场调查，这种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；(2)问哪几个月能盈利？解：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得，A＝2，B＝6，又12·2πω＝4，∴ω＝π4，f(x)＝2sinπ4x＋φ＋6，将已知点(3,8)或(7,4)代入上式，得φ＝－π4，∴f(x)＝2sinπ4x－π4＋6(1≤x≤12，且x为正整数)，∴g(x)＝2sinπ4x－3π4＋8.(2)由g(x)f(x)得，sinπ4x22，∴2kπ＋3π4π4x2kπ＋9π4，k∈Z，∴8k＋3x8k＋9，k∈Z，∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3x9，∴x＝4,5,6,7,8；k＝1时，11x17，∴x＝12.∴x＝4,5,6,7,8,12.则其中4,5,6,7,8,12这六个月份能盈利．19．(12分)若函数f(x)＝sin3xcosx＋cos3xsinx＋3sin2x.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)已知△ABC的三边a、b、c所对的角为A、B、C，且三角形的面积为S，若32ABBC＝S，求f(A)的取值范围．解：(1)f(x)＝sinxcosx(sin2x＋cos2x)＋3sin2x＝sinxcosx＋3sin2x＝12sin2x＋3(1－cos2x)29＝sin2x－π3＋32.当2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)时，f(x)单调递减，∴kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)，f(x)单调递减，∴函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋5π12，kπ＋11π12](k∈Z)．(2)∵S＝12|||ABBC|·sinB＝－32|||ABBC|cosB，∴tanB＝－3，∴B＝2π3.f(A)＝sin2A－π3＋32.∵A＋C＝π3，∴0Aπ3，∴－π32A－π3π3，∴0f(A)3.20．(12分)(2011·苏州市模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝cos3A2，sin3A2，n＝cosA2，sinA2，且满足|m＋n|＝3.(1)求