2012高考总复习《走向清华北大》精品课件6函数的单调性与最大(小)值

第六讲函数的单调性与最大(小)值回归课本1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)0时,f(x)为增函数;当f′(x)0时,f(x)为减函数.2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I,都有f(x)≤M;①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M.②存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值结论M为最大值M为最小值定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).考点陪练1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”的是()A.B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)答案:A1()xfx2.fx(121..522..12)xxABCD函数的最大值为答案:B3.(2011)fxR, 1xA.,1B.1,C.,00,1D.,01,1ffx长春质检已知为上的减函数则满足的实数的取值范围是()答案:D4.(2011)yM,1311..4223.m,.22()xxmMABCD福建模拟已知函数的最大值为最小值为则的值为答案:C5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0;②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0;其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.12121212()()0;()()0.fxfxxxfxfxxx③④答案:①③类型一函数单调性的判定与证明解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接法､图象法.1.用定义法证明函数单调性的步骤:(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1x2,则Δx=x2-x10;(2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解､配方､有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;(4)判断:根据定义作出结论.2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出.了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数与y=f(x)的单调性相反;(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等;(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增､异减”的原则.1()yfx3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法.211fxa01,1.axx【典例】判断函数在区间上的单调性122122121221221212121212(1)().(1 []:1xx1,fxfxa0,fxfx,fx1,1;a0,fxfx,fx1,1)(1)(1)()0,(1)(.1)axxxxxxxxxxxx解解法一设则时函数在上递减时函数在上递增222222:fx,fxx1,1,x10,x10,a(1)0,fx0,fx.a0,fx0,f1x.,()axx解法二对求导有当时为增函数当时为减函数[反思感悟]利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法､放缩法等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.类型二函数的奇偶性与单调性解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.212fx.1a,b;2fx,;3fxx0.xaxbx【典例】已知是奇函数求的值求的单调区间并加以证明求的最值[分析]利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.222122112222212122121212 []1fxfx0,,2abx2a0x.ab0. 2fxxR,0,fx.x,x0,0111()(,xx,fxf1).11(1)(x1)xaxaxbxxbxxxxxxxxxxxxx解恒成立即恒成立则对任意的实数恒成立是奇函数只需研究上的单调区间即可任取且则∵x21+10,x22+10,x2-x10,而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-10,∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)0,函数y=f(x)是增函数;当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)0,函数y=f(x)是减函数.又f(x)是奇函数,∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数.又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故f(x)在[-1,1]上是增函数.(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处可取得最大值.∴f(1)=，∴函数的最大值为,无最小值.类型三求函数的最值解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法.(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用单调性求最值.(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法.(4)导数法:当函数较复杂(如指､对数函数与多项式结合)时,一般采用此法.(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.23fx?x1,.1a4,fx;2a,fx;32,a,fx2.1xxax【典例】已知函数当时求的最小值当时求的最小值若为正数求的最小值[分析]在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.minminmin42,1 []1a4,fxx,fx1,2,2,.fxf26.2a,fxx2,,fx11227.2][,.fxf1 3fxx2(0,,,).,a1,fx[1,),fxf0a11()22;1,xxaaaxaaaa解当时易知在上是减函数在上是增函数当时易知在上为增函数函数在上是减函数在上是增函数若即时在区间上先减后增若≤即min,fx1,.fxf1a3.时在区间上是增函数类型四抽象函数的单调性与最值解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑.【典例4】函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.[分析](1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.[解](1)设x1,x2∈R,且x1x2.∴x2-x10,则f(x2-x1)1.∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1又f(x2-x1)-10,因此f(x2)f(x1),故f(x)在R上是增函数.(2)令a=b=2,则f(4)=2f(2)-1.又f(4)=5,∴f(2)=3.原不等式即为f(3m2-m-2)f(2).由(1)知f(x)在R上是增函数,∴3m2-m-22.4.341,.31m解之得原不等式解集为[反思感悟](1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)f(x2)⇔x1x2,函数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.错源一不注意分段函数的特点1fx.,,a(31)4,1,,11.(0,1).0,3111.,.,1737()axaxlogaxxABCD≤【典例】已知是上的减函数那么的取值范围是[]03a,B10,101,3.aa错解依题意应有解得选[剖析]本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值大于(1,+∞)上的最大值,从而得出错误结果.a []R,3a10,0a1,x13a1141alog1,aC1,,73.正解据题意要使原函数在定义域上为减函数要满足且及时解得的取值范围为故选[答案]C错源二判断复合函数的单调性时,未弄清内､外函数的单调性而致错22fxx1R.x【典例】利用定义判断函数在区间上的单调性121222212221222212211221212111)(11)(11) []x,xR,xx,fxfx(xxxxx,xx0,fxfx0,110,fxfx.fxR.,xxxxxxx错解设且则因为则且所以即以函数在上是单调递增函数2221221 []gx.,Rgx,xx,111.xxx剖析上述解法产生错误的原因在于没有弄清函数的单调性事实上在上函数不具有单调性因此当时不能推出2221222122212221212122212221212121212212212121221 []x,xR,xx,fxfx(xxx1)(11)(11)(1)(1)11()()11()(11x)11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx正解设且则2221222122212212221111211212xx,xx0,,xxx0,xxx0,xx0,fxfx0,fxfx.f110111xR1.xxxxxx因为则而≥所以所以即所以函数在上是单调递增函数技法一复合法2121.3yxx【典例】求的单调区间2222[]x2x30