2012高考数学复习第四章三角函数4-2试题

第四章第二讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·全国Ⅰ，1)sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32答案：A解析：sin585°＝sin(585°－360°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.故选A.2．(2009·陕西，2)若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()A．0B.34C．1D.54答案：B解析：2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝34，故选B.3．已知sinπ2－α＝35，则cos(π－2α)＝()A.725B.2425C．－725D．－2425答案：A解析：由于sinπ2－α＝35，则cos(π－2α)＝1－2sin2π2－α＝725，故选A.4．若sin(180°＋α)＝110，则sec(－α)＋sin(－α－90°)csc(540°－α)－cos(－α－270°)的值等于()A．－13B．±127C.13D．－33答案：B解析：由任意角的三角函数定义secα＝rx＝1cosα，cscα＝ry＝1sinα，又∵sin(180°＋α)＝110，∴sinα＝－110.cosα＝±1－sin2α＝±1－－1102＝±310，∴原式＝1cos(－α)－sin(90°＋α)1sin(540°－α)－cos(270°＋α)＝1cosα－cosα1sinα－sinα＝±127.5．若△ABC的内角A满足sin2A＝23，则sinA＋cosA＝()A.153B．－153C.53D．－53答案：A解析：解法一：(直接法——各个击破)由sin2A＝2sinAcosA＝23，得到sinAcosA＝13.又sin2A＋cos2A＝1，两个未知数sinA、cosA，两个方程，在理论上问题解决，实践告诉我们，这样比较繁琐，不可取！解法二：(直接法——整体思考)∵sin2A＝2sinAcosA0，∴cosA0.∴0sinA＋cosA＝(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝1＋sin2A＝1＋23＝153.选A.发现问题的内在联系，绕开了非必要元素sinA、cosA，解法简捷而又自然．解法三：(估算法)∵sin2A＝2sinAcosA＝230，且A是△ABC的内角，显然sinA0，cosA0，∴0sinA＋cosA＝2sin(A＋π4)≤2.又153432，532，比较选项，可知选A.总结评述：在解答客观性试题时，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”．6．若cos2αsin(α－π4)＝－22，则cosα＋sinα的值为()A．－72B．－12C.12D.72命题意图：考查三角函数的公式．答案：C解析：∵cos2αsin(α－π4)＝cos2α－sin2α22(sinα－cosα)＝－22，得cosα＋sinα＝12，故选C.7．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，又知f(2001)＝－1，则f(2006)的值为()A．－1B．0C．1D．2答案：C解析：寻求f(2001)＝－1与f(2006)之间的联系，这个联系就是解答问题的关键和要害．f(2001)＝asin(2001π＋α)＋bcos(2001π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)，又∵f(2001)＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1.∴f(2006)＝asin(2006π＋α)＋bcos(2006π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.8．(2009·江西省重点中学协作体高三第一次联考)锐角α满足：cotα＝sinα，则α∈()A．(0，π4)B．(π4，π3)[来源:学&科&网]C．(π3，π2)D．(π6，π4)答案：B解析：对于A，若α∈(0，π4)，则cotα1，显然cotα＝sinα不可能成立；对于C，若α∈(π3，π2)，则0cotα33，32sinα1，此时cotα＝sinα不可能成立；对于D，若α∈(π6，π4)，则1cotα3，12sinα22，此时cotα＝sinα不可能成立．综上所述，选B.二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·北京，9)若sinθ＝－45，tanθ＞0，则cosθ＝________.答案：－35解析：由sinθ＝－45＜0，tanθ＞0知θ是第三象限角，故cosθ＝－35.10．计算sin10π3－2cos(－19π4)＋tan(－13π3)－3cot(－17π3)＝________.答案：－332解析：原式＝sin(2π＋4π3)－2cos(4π＋3π4)－tan(4π＋π3)＋3cot(6π－π3)[来源:学。科。网]＝sin(π＋π3)－2cos(π－π4)－tanπ3－3cotπ3＝－sinπ3＋2cosπ4－3－1＝－332.11．化简cos(－θ)cos(360°－θ)·tan2(180°－θ)－cos(90°＋θ)cos2(270°＋θ)·sin(－θ)＝________.答案：－1解析：直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得．原式＝cosθcosθ·tan2θ－－sinθsin2θ·(－sinθ)＝cos2θsin2θ－1sin2θ＝－sin2θsin2θ＝－1.12．当且仅当θ在________范围内时，等式1－cosθ1＋cosθ＝cotθ－cscθ成立？分析：利用同角三角函数间的关系，从左端入手去掉根号，然后再去绝对值是本题的关键．答案：θ∈(2kπ＋π，2kπ＋2π]，(k∈Z)解析：∵1－cosθ1＋cosθ＝(1－cosθ)2sin2θ＝1－cosθ|sinθ|，[来源:学科网ZXXK]cotθ－cscθ＝cosθsinθ－1sinθ＝－1－cosθsinθ，∴|sinθ|＝－sinθ或cosθ＝1，∴sinθ0或cosθ＝1.∴θ∈(2kπ＋π，2kπ＋2π)或θ＝2kπ(k∈Z)．三、解答题(4×10＝40分)13．已知sinθ－cosθ＝12，求：(1)sinθcosθ；(2)sin3θ－cos3θ；(3)sin4θ＋cos4θ.分析：本题涉及到sinθ±cosθ及sinθ·cosθ，注意应用sin2θ＋cos2θ＝1.解析：(1)sinθ－cosθ＝12，平方得1－2sinθcosθ＝14，则sinθcosθ＝38.[来源:学科网ZXXK](2)sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝12(1＋38)＝1116.(3)sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×964＝2332.总结评述：本例是方程思想在三角中的应用问题，求解中注意乘方、因式分解和配方．一般地，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中任何一个都可以用来求出另两个值．14．化简：[来源:学科网ZXXK]1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα·secα＋1secα－1－secα－1secα＋1.分析：“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．解答：原式＝(1＋sinα)2cos2α－(1－sinα)2cos2α·(secα＋1)2tan2α－(secα－1)2tan2α＝1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα||secα＋1||tanα|－|secα－1||tanα|＝2sinα|cosα|·1＋cosαcosαsinαcosα－1－cosαcosαsinαcosα＝2sinα|cosα|·1＋cosα|sinα|－1－cosα|sinα|＝2sinα|cosα|·2cosα|sinα|＝4(α在第一、三象限时)，－4(α在第二、四象限时).总结评述：在三角函数式的变形中，为“脱”去根号常借助同角三角函数的平方关系式．上例解答中易犯的错误是缺少对sinα、cosα正负的讨论，直接“脱”去分母中的绝对值符号，或是不注意正、余弦函数的有界性，盲目对1±sinα或1±cosα的正负进行讨论．15．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ(1＋1tanθ)＝1sinθ＋1cosθ.思路点拨：证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有：①从一边开始，证得它等于另一边；②证明左右两边都等于同一个式子；③变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与原结论等价的式子．证明：左式＝sinθ(1＋sinθcosθ)＋cosθ(1＋cosθsinθ)＝sinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＋cos2θsinθ＝(sinθ＋cos2θsinθ)＋(cosθ＋sin2θcosθ)＝sin2θ＋cos2θsinθ＋cos2θ＋sin2θcosθ＝1sinθ＋1cosθ＝右式．方法技巧：证明三角恒等式离不开三角函数的变换．在变换的过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化．要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便．温馨提示：本题易在弦切互化时分组不合理而出错．16．(2009·河北保定模拟)已知3π4απ，tanα＋cotα＝－103.(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sin(α－π4)的值．解析：(1)∵tanα＋cotα＝－103，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0.解得tanα＝－13或tanα＝－3.∵3π4απ，∴－1tanα0.∴tanα＝－13.(2)∵tanα＝－13，∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sin(α－π4)＝5(sin2α2＋cos2α2)＋4sinα＋6·1＋cosα2－8sinα－cosα＝5＋4sinα＋3＋3cosα－8sinα－cosα＝4sinα＋3cosαsinα－cosα＝4tanα＋3tanα－1＝－54.