2012高考数学复习第四章三角函数4-6试题

第四章第六讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·陕西师大附中第三次模拟)函数f(x)＝sin(x＋π4)(0≤x≤π)的值域为()A．[－22，22]B．[0,1][来源:Z+xx+k.Com]C．[－22，1]D．[22，1][来源:学科网ZXXK]答案：C解析：∵0≤x≤π，∴π4≤x＋π4≤54π，∴－22≤sin(x＋π4)≤1，故选C.2．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[π4，π2]上的最大值是()A．1B.1＋32C.32D．1＋3答案：C解析：由已知得f(x)＝1－cos2x2＋32sin2x＝12＋sin(2x－π6)，当x∈[π4，π2]时，2x－π6∈[π3，5π6]，sin(2x－π6)∈[12，1]，因此f(x)的最大值等于12＋1＝32，选C.3．函数y＝x－sinx在[π2，π]上的最大值是()A.π2－1B.3π2＋1C.3π2－22D．π答案：D解析：设f(x)＝x，g(x)＝－sinx，则f(x)与g(x)在[π2，π]上均是增函数，∴ymax＝π－sinπ＝π.4．若2α＋β＝π，则y＝cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为()A．7,5B．7，－112C．5，－112D．7，－5答案：D解析：y＝cos(π－2α)－6sinα＝2sin2α－6sinα－1＝2(sinα－32)2－112，∵－1≤sinα≤1，∴－5≤y≤7.5．函数y＝|sinx|－2sinx的值域为()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[0,3]D．[－3,0]答案：B解析：由y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－sinx，sinx∈(0,1]，,－3sinx，sinx∈[－1,0]，)),∴y∈[－1,3]．,6.若f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a(a为实常数)在区间0，π2上的最小值为－4，则a的值为()A．－6B．4C．－3D．－4答案：D解析：f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a＝cos2x＋1＋3sin2x＋a＝2sin2x＋π6＋a＋1∵x∈0，π2，∴2x∈[0，π]，∴2x＋π6∈π6，7π6，∴sin2x＋π6∈－12，1，∴f(x)min＝2·－12＋a＋1＝－4.解得a＝－4，故选D.7．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·|cosx|的最大值为()A．5B.52C.12D.92答案：D解析：当cosx＞0时，f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43，此时f(x)的最大值为52－2＝12.当cosx＜0时，f(x)＝(3sinx－4cosx)(－cosx)＝4cos2x－3sinxcosx＝2cos2x＋2－32sin2x＝52sin(θ－2x)＋2，其中tanθ＝43，此时f(x)的最大值为52＋2＝92.由以上可知f(x)的最大值为92.8．(热点预测题)若关于x的方程4cosx－cos2x＋m－3＝0恒有实数解，则实数m的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．[－1,8]C．[0,5]D．[0,8][来源:Zxxk.Com]答案：D解析：方程可化为m＝cos2x－4cosx＋3＝(cosx－2)2－1，由cosx∈[－1,1]，得m∈[0,8]，故选D.二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·北京东城)函数y＝sinx＋3cosx的最大值为________．答案：2解析：∵y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，∴最大值是2.10．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝2cos2x－sinx的最大值是__________．答案：178解析：f(x)＝－2sin2x＋2－sinx＝－2(sinx＋14)2＋178，∵|x|≤π4，∴sinx∈[－22，22]，∴当sinx＝－14时，f(x)取最大值178.11．(2009·全国Ⅰ，16)若π4＜x＜π2，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．答案：－8解析：π4＜x＜π2，tanx＞1，令tan2x－1＝t＞0，则y＝tan2xtan3x＝2tan4x1－tan2x＝2(t＋1)2－t＝－2(t＋1t＋2)≤－8，故填－8.12．定义运算a※b为：a※b＝a，a≤b，b，a＞b.如1※2＝1，则函数f(x)＝sinx※cosx的值域为__________；若a※b为：a※b＝a，a＞b，b，a≤b，如1※2＝2，则函数f(x)＝sinx※cosx的值域为__________．答案：[－1，22][－22，1]解析：若a※b＝a，a≤b，b，a＞b，则f(x)＝cosx，sinx≥cosx，sinx，sinx＜cosx其图象如图所示，由图象可得，函数f(x)的值域是[－1，22]．若a※b＝a，a＞b，b，a≤b，则f(x)＝cosx，sinx≤cosx，sinx，sinx＞cosx.其图象如图所示，由图象可得，函数f(x)的值域是[－22，1]．[来源:Zxxk.Com]三、解答题(4×10＝40分)13．(2009·广东深圳调研)已知函数f(x)＝2cosxcos(π6－x)－3sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈[－π3，π2]，求f(x)的值域．解析：(1)∵f(x)＝cosx(3cosx＋sinx)－3sin2x＋sinxcosx＝3(cos2x－sin2x)＋2sinxcosx＝3cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π3)，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈[－π3，π2]，∴－π3≤2x＋π3≤4π3.[来源:学科网ZXXK]又∵f(x)＝2sin(2x＋π3)，∴f(x)∈[－3，2]．∴f(x)的值域为[－3，2]．14．已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)取得最大值的所有x组成的集合．解析：(1)f(x)＝3sin2x－π6＋1－cos2x－π12＝3sin2x－π6－cos2x－π6＋1＝232sin2x－π6－12cos2x－π6＋1＝2sin2x－π6－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，∴函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)当f(x)取最大值时，sin2x－π3＝1，此时有2x－π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)．∴所求x的集合为x|x＝kπ＋5π12，k∈Z.15．已知△ABC的面积为3，且满足－6≤CA→·CB→≤0，设CA→和CB→的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2(π4＋θ)－3cos2θ的最大值与最小值．解析：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由12absinθ＝3,－6≤abcosθ≤0，可得－1≤cotθ≤0，∴θ∈[π2，3π4]．(2)f(θ)＝2sin2(π4＋θ)－3cos2θ＝[1－cos(π2＋2θ)]－3cos2θ＝(1＋sin2θ)－3cos2θ＝sin2θ－3cos2θ＋1＝2sin(2θ－π3)＋1.∵θ∈[π2，3π4],∴2θ－π3∈[2π3，7π6]，∴0≤2sin(2θ－π3)＋1≤3＋1.即当θ＝π2时，函数f(θ)取得最大值3＋1;当θ＝3π4时，函数f(θ)取得最小值0.高考展望：高考中对三角函数的考查有可能减弱，但这也许仅仅限于考查的深度和难度上，所以对三角函数的中等题或小综合题应引起足够的重视，尤其是向量与三角函数的综合题．16．有一块半径为1m，中心角为π3的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形．试问工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值．解析：如图，设∠COB＝α，α∈(0，π3)则在Rt△OCB中，BC＝OC·sinα＝sinα∴AB＝OB－OA＝cosα－33sinα∴SABCD＝AB·BC＝(cosα－33sinα)·sinα＝12sin2α－36(1－cos2α)＝33(32sin2α＋12cos2α)－36＝33sin(2α＋π6)－36，∵α∈(0，π3)，∴2α＋π6∈(π6，5π6)∴当2α＋π6＝π2时，(SABCD)max＝33－36＝36.此时α＝π6.工人师傅是这样选点的，记扇形为EOB，以扇形一半径OB为一边，在扇形上作角BOC且使∠BOC＝π6，C为边与扇形弧的交点，自C作CB⊥OB于B，CD∥OB交OE于D，并作AD⊥OA于A，则矩形ABCD为面积最大的矩形，面积最大值为36m2.