2012高考数学总复习课件15.“构造函数法”求解不等式恒成立问题

备课资讯15“构造函数法”求解不等式恒成立问题【例1】已知f(x)＝x2＋mx＋1，试求实数x的取值范围，使得不等式f(x)≥3对任意的m∈[－1,1]恒成立．分析题中已知m的范围，故可视y＝x2＋mx＋1为m的函数．解析令g(m)＝xm＋(x2＋1)，此为关于m的一次函数，相应直线的斜率为x，结合下图得f(x)≥3对任意的m∈[-1,1]恒成立⇔g(1)≥3且g(-1)≥3，可求得x的取值范围为{x|x≥2或x≤-2}．【例2】已知f(x)＝mx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈[－1,1]都有f(x)≥0，求实数m的值．分析本题已知x的范围，而m的范围未知，故y＝mx3－3x＋1应视为x的函数而不能视为m的函数(为何不能视为m的函数，本文文末将给出说明)．解析对于任意的x∈[－1,1]都有f(x)≥0⇔当x∈[－1,1]时，[f(x)]min≥0.f(x)＝mx3－3x＋1⇒f′(x)＝3(mx2－1)．(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，不符合题意．(2)当m0时，f′(x)＝3(mx2－1)0恒成立⇒f(x)在[－1,1]上为减函数⇒[f(x)]min＝f(1)＝m－2.由题意得m－2≥0，解得m≥2(舍去)．(3)当m0时，令f′(x)＝0，即3(mx2－1)＝0，解得x＝±1m，列表得xf′(x)＋0－0＋)1,(mm1)1,1(mmm1),1(m①如图1所示，当1m≥1，即0m≤1时，易得[f(x)]min＝f(1)＝m－2，由题意得m－2≥0，解得m≥2(舍去)．图1图2②如图2所示，当1m1，即m1时，易得[f(x)]min＝minf(－1)，f1m＝min－m＋4，－2m＋1，由题意得－m＋4≥0，－2m＋1≥0⇒m≤4，m≥4⇒m＝4.综上得m＝4.另析因为x∈[－1,1]都有f(x)≥0，运用特殊值，取x＝－1和1，得f(－1)≥0，f(1)≥0，解得m≤4，m≥2.可将m的范围初步缩小为[2,4]，则上述解题过程可简化为：当m∈[2,4]时，令f′(x)＝0，即3(mx2－1)＝0，解得x＝1m∈12，22.因为1m1，参见图2，易得[f(x)]min＝minf(－1)，f1m＝min－m＋4，－2m＋1，由题意得－m＋4≥0，－2m＋1≥0⇒m≤4，m≥4⇒m＝4.点评对于此类含参问题(所构造的函数非一次函数)，从特殊值入手，初步缩小变量的取值范围，可有效减少后续工作量，解题中要注意该技巧的运用．【例3】当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，求m的取值范围．分析题中已知x的取值范围，故可视y＝x2＋mx＋4为x的二次函数．一般地，可根据f(x)＝x2＋mx＋4的对称轴x＝－m2相对于区间(1,2)的位置，分三种情形进行分类讨论，但若先从特殊值入手如取x＝32，初步缩小变量m的取值范围，则可有效减少后续工作量．解析令f(x)=x2+mx+4，当x∈(1,2)时，不等式x2+mx+40恒成立，取x=得m-，所以f(x)=x2+mx+4的对称轴x=-2，如右图所示，易得当x∈(1,2)时，不等式x2+mx+40恒成立⇔f(1)≤0，解得m≤-5.点评236252m1225结合以上例题可以发现，“构造函数法”是易于掌握和应用的一个处理“含参不等式恒成立问题”的有效方法．本文例2不可视y＝mx3－3x＋1为m的一次函数，为什么呢？假设视y＝mx3－3x＋1为m的函数，令g(m)＝x3m＋(－3x＋1)，如下图所示，对g(m)＝x3m＋(－3x＋1)对应直线作分类讨论，但由于缺少m确定的取值范围，所以并不能如例1那样列出相应的不等式，故本题不能视mx3－3x＋1为m的函数．一般地，在运用“构造函数法”求解“含参不等式恒成立问题”时，遵循“已知谁的范围，则视为谁的函数”，可快速判定构造方向．而从特殊值入手，初步缩小变量的取值范围，则可有效缩短解题长度．另需说明的是“含参不等式恒成立问题”的一般解法有“最值法”“参数分离法”“数形结合法”及本文所介绍的“构造函数法”，解题中要注意灵活选用．对于无须分类讨论便可实现参变量分离的，不妨用“参数分离法”(该法可将多变量问题转化为单变量问题)，除此之外的其他“含参不等式恒成立问题”，运用“构造函数法”(并结合特殊化思想初步缩小变量的取值范围)应是不错的选择．返回