2012高考数学考前三个月专题复习课件8(4)系列4选讲

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§4不等式选讲真题热身(2011·江苏)解不等式x+|2x-1|3.解原不等式可化为2x-1≥0,x+(2x-1)3或2x-10,x-(2x-1)3.解得12≤x43或-2x12.所以原不等式的解集是x|-2x43.考点整合1.含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)⇔f(x)a或f(x)-a;(2)|f(x)|a(a0)⇔-af(x)a.(3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,可利用绝对值的不等式的几何意义求解.2.含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.3.柯西不等式(1)设a,b,c,d为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.(2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则(∑ni=1a2i)(∑ni=1b2i)≥(∑ni=1aibi)2,当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn(当某bj=0时,认为aj=0,j=1,2,…,n)时等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.4.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学归纳法等.分类突破一、含绝对值的不等式的解法例1(2011·课标全国)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.解(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.此不等式化为不等式组x≥a,x-a+3x≤0或xa,a-x+3x≤0,即x≥a,x≤a4或xa,x≤-a2.因为a0,所以不等式组的解集为{x|x≤-a2}.由题设可得-a2=-1,故a=2.归纳拓展解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.一般方法有:零点分段法、平方法、等价转化法.常用方法是零点分段法,其基本步骤为:①求零点;②划区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.变式训练1(2011·辽宁)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.(1)证明f(x)=|x-2|-|x-5|=-3,x≤2,2x-7,2x5,3,x≥5.当2x5时,-32x-73,所以-3≤f(x)≤3.(2)解由(1)可知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15的解集为空集;当2x5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-3≤x5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-3≤x≤6.}二、不等式的证明例2(2010·辽宁)已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63,并确定a,b,c为何值时,等号成立.证明方法一因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2+c2≥3(abc),①1a+1b+1c≥3(abc),所以(1a+1b+1c)2≥9(abc).②故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)+9(abc).又3(abc)+9(abc)≥227=63,③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)时,③式等号成立.故当且仅当a=b=c=3时,原不等式等号成立.23-13-23-2323-2323-232314方法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①同理1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac,②故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥ab+bc+ac+3ab+3bc+3ac≥63.③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.故当且仅当a=b=c=3时,原不等式等号成立.14归纳拓展证明不等式的常用方法有:比较法、分析法、综合法等.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:(1)a2≥0;(2)|a|≥0;(3)a2+b2≥2ab;它的变形形式有a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;a2+b2≥12(a+b)2;a2+b22≥a+b22;(4)a+b2≥ab;它的变形形式有ab+ba≥2(ab0);ab+ba≤-2(ab0).变式训练2设a,b,c均为正实数,求证:1a3+1b3+1c3+abc≥23.证明因为a,b,c是正实数,由平均不等式可得1a3+1b3+1c3≥331a3·1b3·1c3,即1a3+1b3+1c3≥3abc.所以1a3+1b3+1c3+abc≥3abc+abc.而3abc+abc≥23abc·abc=23,所以1a3+1b3+1c3+abc≥23.三、含绝对值的不等式的证明例3已知f(x)=1+x2,a≠b,求证:|f(a)-f(b)||a-b|.解∵|f(a)-f(b)|=|1+a2-1+b2|=|a2-b2|1+a2+1+b2=|a-b||a+b|1+a2+1+b2,又|a+b|≤|a|+|b|=a2+b21+a2+1+b2,∴|a+b|1+a2+1+b21.∵a≠b∴|a-b|0.∴|f(a)-f(b)||a-b|.归纳拓展本题应用了放缩法,放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性.缩小分母、扩大分子,分式值增大;缩小分子、扩大分母,分式值减小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和.变式训练3设f(x)=x2-x+43,实数a满足|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).证明|f(x)-f(a)|=|x2-x+43-a2+a-43|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1|.∵|x-a|1,∴|x|-|a|≤|x-a|1.∴|x||a|+1.∴|f(x)-f(a)|=|x-a|·|x+a-1|≤|x+a-1|≤|x|+|a|+12(|a|+1).规范演练一、填空题1.(2011·广东)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是__________.解析方法一不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|,两边平方得(x+1)2≥(x-3)2,解得x≥1,故不等式的解集为[1,+∞).方法二不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|,根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点-1的距离大于等于到点3的距离,到两点距离相等时x=1,故不等式的解集为[1,+∞).[1,+∞)2.不等式|x+1||x+2|≥1的实数解为__________________.解析∵x+1x+2≥1,∴|x+1|≥|x+2|.∴x2+2x+1≥x2+4x+4,∴2x+3≤0.∴x≤-32且x≠-2.x|x≤-32且x≠-23.(2011·陕西)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________________________.解析∵f(x)=|x+1|+|x-2|=-2x+1(x≤-1),3(-1x2),2x-1(x≥2),∴f(x)≥3.要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,∴|a|≥3,即a≤-3或a≥3.(-∞,-3]∪[3,+∞)4.已知x54,则函数y=4x-2+14x-5的最大值为______.解析∵x54,∴5-4x0.又y=4x-2+14x-5=(4x-5)+14x-5+3=-[(5-4x)+1(5-4x)]+3≤-2+3=1,当5-4x=15-4x,即x=1时,取“=”,此时ymax=1.15.(2011·江西)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.解析∵|x-1|≤1,∴-1≤x-1≤1,∴0≤x≤2.又∵|y-2|≤1,∴-1≤y-2≤1,∴1≤y≤3,从而-6≤-2y≤-2.由同向不等式的可加性可得-6≤x-2y≤0.∴-5≤x-2y+1≤1,∴|x-2y+1|的最大值为5.56.用数学归纳法证明cosα+cos3α+cos5α+…+cos(2n-1)α=sin2nα2sinα(sinα≠0,n∈N),当验证n=1时,等式右边的式子是_______.解析n=1时,右边=sin2α2sinα=cosα.cosα7.若不等式x+|x-1|≤a有解,则实数a的取值范围是______________.解析设f(x)=x+|x-1|,则f(x)=2x-1,(x≥1),1,(x1).f(x)的最小值为1.因为x+|x-1|≤1有解,所以当a≥1时,f(x)≤a有解.[1,+∞)二、解答题8.(2011·福建)设不等式|2x-1|1的解集为M.(1)求集合M;(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.解(1)由|2x-1|1得-12x-11,解得0x1,所以M={x|0x1}.(2)由(1)和a,b∈M可知0a1,0b1.所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)0,故ab+1a+b.9.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.解(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|.由f(x)≥3得|x-1|+|x+1|≥3.①当x≤-1时,不等式化为1-x-1-x≥3,即-2x≥3.不等式组x≤-1,f(x)≥3的解集为-∞,-32.②当-1x≤1时,不等式化为1-x+x+1≥3,此不等式不成立,不等式组-1x≤1f(x)≥3的解集为∅.③当x1时,不等式化为x-1+x+1≥3,即2x≥3.不等式组x1,f(x)≥3的解集为32,+∞.综上得,f(x)≥3的解集为-∞,-32∪32,+∞.(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.若a1,f(x)=-2x+a+1,x≤a,1-a,ax1,2x-(a+1),x≥1.f(x)的最小值为1-a.若a1,f(x)=-2x+a+1,x≤1,a-1,1xa,2x-(a+1),x≥a.f(x)的最小值为a-1.所以∀x∈R;f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,从而a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).10.(2011·上海)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,…,cn,….(1)求c1,c2,c3,c4;(2)求证:在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,….(1)解c1=9,c2=11,c3=12,c4=13.(2)证明①任意n∈N*,设a2n-1=3(2n-1)+6=6n+3=bk=2k+7,则k=3n-2,即a2n-1=b3n-2;②假设a2n=6n+6=bk=2k+7⇔k=3n-12∈N*(矛盾),∴a2n∉{bn}.∴在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,….返回

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