2012高考数学考前三个月专题复习课件8系列4选讲

§3坐标系与参数方程真题热身1．(2011·陕西)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．解析∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d＝32＋42＝5.∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴ABmin＝5－2＝3.32．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)的右焦点，且与直线x＝4－2t，y＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．解由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y＝12(x－4)，即x－2y－4＝0.考点整合1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0).2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M(r，π2)，半径为r：ρ＝2rsinθ.204．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθy＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．分类突破一、参数方程例1(2010·课标全国)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组y＝3(x－1)，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(12，－32)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα(α为参数)．P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．归纳拓展有些题目用参数方程解决起来不方便，这时，我们一般将参数方程转化为熟悉的普通方程，再结合我们以前学过的知识来解决．这体现了从未知到已知，从不熟悉到熟悉的转化思想，同时会简化运算提高做题的准确率．变式训练1直线y＝2x－12与曲线x＝sinφ，y＝cos2φ(φ为参数)的交点坐标是______．解析x＝sinφy＝cos2φ⇒x＝sinφ，①y＝2cos2φ－1＝1－2sin2φ，②①代入②得y＝1－2x2⇒2x2＋y＝1，∴y＝2x－12，2x2＋y＝1，解方程得x＝12，y＝12，∴交点坐标为(12，12)．12，12二、极坐标方程例2(2010·江苏)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a＝2或a＝－8.故a的值为－8或2.归纳拓展直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．变式训练2(1)(2011·江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为__________________.解析∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.x2＋y2－2y－4x＝0(2)在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是__________．解析将参数方程θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1，化为普通方程为y＝0，y＝3x，x＋y＝1，联立y＝3x，x＋y＝1，得交点3－12，3－32.所围成三角形的面积为S＝12×1×3－32＝3－34.3－34三、综合应用例3(2010·辽宁)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．(解(1)由已知，点M的极角为π3，且点M的极径等于π3，故点M的极坐标为(π3，π3)．(2)点M的直角坐标为(π6，3π6)，A(1,0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋(π6－1)t，y＝3π6t(t为参数)．变式训练3(2011·课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.解(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα.(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝23.规范演练一、填空题1．(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析曲线ρ＝2sinθ化为直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝0.由ρcosθ＝－1可化为x＝－1.将x＝－1代入x2＋y2－2y＝0得x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为2，3π4.2，3π42．(2011·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．解析曲线C1化为普通方程为圆：x2＋(y－1)2＝1，曲线C2化为直角坐标方程为直线：x－y＋1＝0.因为圆心(0,1)在直线x－y＋1＝0上，故直线与圆相交，交点个数为2.23．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为__________．解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x25＋y2＝1(0≤y≤1，－5x≤5)和y2＝45x，联立解得交点坐标为1，255.1，2554．设直线l1的参数方程为x＝1＋t，y＝1＋3t(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为________．解析将参数方程x＝1＋t，y＝1＋3t(t为参数)化为普通方程3x－y－2＝0，因此l1与l2间的距离为d＝|4＋2|32＋12＝3105.31055．极坐标方程ρ＝32－4cosθ表示的曲线是________．解析极坐标方程化为2ρ＝3＋4ρcosθ.∴4x2＋4y2＝16x2＋24x＋9.可化为(x＋1)214－y234＝1，表示双曲线．双曲线6．直线x＝3＋at，y＝－1＋4t(t为参数)恒过定点________．解析将参数方程化为普通方程得：x－3＝a4(y＋1)，∴恒过定点(3，－1)．(3，－1)7．点M5，π6为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①－5，－π6；②5，7π6；③－5，π6；④－5，－7π6.其中可以作为点M关于极点对称点的坐标的是______．(填序号)②③二、解答题8．已知直线的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22，圆M的参数方程x＝2cosθ，y＝－2＋2sinθ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x轴正半轴重合．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆M上的点到直线的距离的最小值．解(1)极点为直角坐标原点O，∵ρsinθ＋π4＝22，∴ρ22sinθ＋22cosθ＝22，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，可化为直角坐标方程：x＋y－1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程：x2＋(y＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)，半径r＝2.∴点M到直线的距离为d＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.9．已知曲线C1的参数方程为x＝－2＋10cosθy＝10sinθ(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋6sinθ.(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解由x＝－2＋10cosθy＝10sinθ得(x＋2)2＋y2＝10.∴曲线C1的普通方程为(x＋2)2＋y2＝10.∵ρ＝2cosθ＋6sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ＋6ρsinθ，∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3