搜索
§6应用性问题[考情解读]数学应用题是指用数学知识来解决的社会生活中有实际背景的问题，这类题目的立意、实际背景、创设的情境、设问的角度和方式新颖灵活，对考生的能力和数学素质有较高的要求，出于考查素质的要求，数学应用题成为近几年高考的热点之一．常见的考查方式有：(1)与函数、导数、方程有关的应用题；(2)与不等式有关的应用题，常涉及到最优化等问题；(3)与数列有关的应用题，常涉及到增长率、利率等问题；(4)与三角形有关的问题；(5)概率统计应用题；(6)立体几何与解析几何应用题．把实际问题抽象为数学问题来解决，把数学知识运用到生产、生活的实际中去，形成应用数学意识，是培养学生分析问题、解决问题的能力的需要．处理这一问题，通常分为四步：(1)读题：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄懂题中出现的量及数学含义，边读题边画出示意图，标出已知量和所求量；(2)建模：根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)求解：进行标准化设计，即转化为常规的数学问题加以解决；(4)评价：对结果进行评估或验证，对错误进行调节，或限制范围或舍去，最后写出结论或作答．分类突破热点一函数、导数、不等式的应用题高考中的数学应用题，大多是以函数知识作为背景设计的．所涉及到的函数主要是一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数以及形如y＝ax＋bx的函数等．解答函数应用题，一般都是从建立函数表达式着手，将实际问题数学化，将文字或图形语言数学化，最终在其定义域内给出完整准确的解答．例1某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1x＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？[规范解答示例]解(1)由题意，每年销量为Q万件，共计成本为(32Q＋3)万元，销售收入为(32Q＋3)·150%＋x·50%，∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q＋3－x)＝12(32×3x＋1x＋1＋3－x)＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，∴所求的函数关系式为y＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，…………4分当x＝100时，y0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.……………………………………………………………………6分(2)由y＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)可得y′＝(－2x＋98)(x＋1)－(－x2＋98x＋35)2(x＋1)2＝－x2－2x＋632(x＋1)2.………………………………………………8分令y′＝0，则x2＋2x－63＝0，∴x＝－9(舍去)或x＝7.又x∈(0,7)时，f′(x)0；x∈(7，＋∞)时，f′(x)0.∴f(x)极大值＝f(7)＝42.…………………………………………12分又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.……………14分热点二概率与统计例2甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的概率分布表及数学期望．[规范解答示例]解(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则P(A)＝C14·C22C36＝420＝15，P(B)＝(1－23)3＋C13·23(1－23)2＝127＋29＝727，………………………………………………………………3分则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－15×727＝128135.………………6分(2)由题知ξ的可能取值是1,2.P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12＋C34C36＝45，………………10分则ξ的概率分布表为ξ12P1545∴E(ξ)＝1×15＋2×45＝95.………………………………………14分构建答题模板第一步：求解离散型随机变量的分布列及其期望与方差，首先分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的取值．第二步：根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率．第三步：列出分布列的表格．第四步：最后根据期望与方差的定义式或计算公式求解其值．第五步：反思回顾，根据分布列性质检验结果是否正确，计算是否正确．热点三三角函数的实际应用例3在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向、俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？[规范解答示例]解(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，∴AB＝3(千米).……………………………………………2分在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝33(千米)．在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，∴BC＝AC2＋AB2＝(33)2＋(3)2＝303，∴船的航行速度是303÷16＝230(千米/时).………………6分(2)∵∠DAC＝90°－60°＝30°，∴sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝ABBC＝3303＝31010，……………………………………………………………10分sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°＝31010·32－12·1－(31010)2＝(33－1)1020，在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠DCA＝ACsin∠CDA，∴AD＝AC·sin∠DCAsin∠CDA＝33·31010(33－1)1020＝9＋313，∴此时船距岛A为9＋313千米.………………………………………14分构建答题模板第一步：分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．第二步：根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出第三步：将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．第四步：检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．热点四数列应用题例4假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底：(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085＝1.47,1.086＝1.59)[规范解答示例]解(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50.则Sn＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n，……………………2分令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0.又n∈N*，∴n≥10.∴到2018年底，中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.…………………………………………6分(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400·(1.08)n－1.…………………10分由题意可知an0.85bn，有250＋(n－1)·50400·(1.08)n－1·0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n＝6.……………………12分∴到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.………………………………………14分[归纳拓展]解决这一类问题的关键是如何把实际问题转化为数列问题，这是通过分析问题中的量及这些量之间的关系，尤其像“每年(月)比上一年(月)增加(减少)……”或“每年(月)是上一年(月)的……”这些反映数量之间的递推关系的语言，并把生活语言借助符号转化为数列语言，从而将实际问题转化为数列问题．仿真模拟演练1．张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000t.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？解(1)工厂的实际年利润为：w＝2000t－st(t≥0)．w＝2000t－st＝－s(t－1000s)2＋10002s，当t＝(1000s)2时，w取得最大值．所以工厂取得最大年利润的产量t＝(1000s)2(吨)．(2)设农场净收入为v元，则v＝st－0.002t2.将t＝(1000s)2代入上式，得v＝10002s－2×10003s4.又v′＝－10002s2＋8×10003s5＝10002(8000－s3)s5.令v′＝0，得s＝20.当s20时，v′0；当s20时，v′0，所以s＝20时，v取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s＝20(元/吨)时，获最大净收入．2．甲、乙、丙三人都报考某大学，根据他们的成绩与表现，他们被录取的概率分别为0.5,0.7,0.8，并且他们是否被录取之间互不影响．(1)求至少两人被录取的概率；(2)若用ξ表示被录取的人数，求ξ的概率分布表，并求这3人被录取的人数期望值．解(1)设“至少两人被录取”为事件A，则A的对立事件A为“只有1人被录取或都没有被录取”，而三人都没有被录取的概率为：P0＝(1－0.5)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.03.恰好有一人被录取的概率为：P1＝(1－0.5)×(1－0.7)×0.8＋(1－0.5)×0.7×(1－0.8)＋0.5×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.22，故P(A)＝P0＋P1＝0.22＋0.03＝0.25.所以，P(A)＝1－P(A)＝1－0.25＝0.75，即至少有两人被录取的概率为0.75.也可直接求；三人都被录取的概率为：P3＝0.5×0.7×0.8＝0.28，两人被录取的概率为：P2＝0.5×0.7×(1－0.8)＋0.5×(1－0.7)×0.8＋(1－0.5)×0.7×0.8＝0.47，故P(A)＝P2＋P3＝0.75.(2)根据(1)可知，P(ξ＝0)＝0.03，P(ξ＝1)＝0.22，恰有三人被录取的概率为：P(ξ＝3)＝0.5×0.7×0.8＝0.28，所以，恰好有二人被录取的概率为：P(ξ＝2)＝1－0.03－0.22－0.28＝0.47.故ξ的概率分布表为：ξ0123P(ξ)0.030.220.470.28则被录取的人数期望值为：E(ξ)＝1×0.22＋2×0.47＋3×0.28＝2.3．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房am2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少am2；已知旧住房总面积32am2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面