2012高考理科数学讲析练精品学案第1章集合与函数概念第2讲函数与映射的概念

1578948537234-1-2012高考理科数学讲析练精品学案第1章集合与函数概念第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),((2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(xfy的定义域为][ba，，求)2(xfy的定义域[误解]因为函数)(xfy的定义域为][ba，，所以bxa，从而222bxa故)2(xfy的定义域是]2,2[ba[正解]因为)(xfy的定义域为][ba，，所以在函数)2(xfy中，bxa2，从而22bxa，故)2(xfy的定义域是]2,2[ba1578948537234-2-即本题的实质是求bxa2中x的范围问题2：已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域[误解]因为函数)2(xfy的定义域是][ba，，所以得到bxa2，从而22bxa，所以函数)(xfy的定义域是]2,2[ba[正解]因为函数)2(xfy的定义域是][ba，，则bxa，从而222bxa所以函数)(xfy的定义域是]2,2[ba即本题的实质是由bxa求2x的范围即)(xf与)2(xf中x含义不同1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y，则由0)12(4)]1(2[2yyy得021332133yy且，故所求值域是]2133,2133[（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为1cos521cos3cos2xxxy，而]2,0(1cosx，所以]25,(1cos5x，故]21,(y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域当0x时，0y；当0x时，xxy43，若0x，则4424xxxx若0x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是]43,43[1578948537234-3-（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224xxxy的值域因)14(22823xxxxy，故函数])2,1[(2224xxxy在)21,1(上递减、在)0,21(上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,815[（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数【例1】试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。[解析]（1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数xxxf)(的定义域为),0()0,(，而;01,01)(xxxg的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xxf)(1x的定义域为0xx，而xxxg2)(的定义域为10xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2xxf，1578948537234-4-1)(2ttf，1)1()1(2uuf都可视为同一函数.[新题导练]1．下列函数中与函数xy相同的是()A.y=(x)2;B.y=33t;C.y=2x;D.y=xx2[解析]B；因为y=33tt，所以应选择B2．与函数)12lg(1.0xy的图象相同的函数是（）A.)21(12xxy；B.121xy；C.)21(121xxy；D.|121|xy[解析]C；根据对数恒等式得121101.0121lg)12lg(xyxx，且函数)12lg(1.0xy的定义域为),21(，故应选择C考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域[例2].函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()A.),2[)4,(;B.)1,0()0,4(；C.]1,0()0,4[,;D.)1,0()0,4[,[解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。[解析]欲使函数)(xf有意义，必须并且只需0043230430232222xxxxxxxxx)1,0()0,4[x，故应选择D【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。题型2：求抽象函数的定义域[例3]设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,41578948537234-5-[解题思路]要求复合函数xfxf22的定义域，应先求)(xf的定义域。[解析]由202xx得，()fx的定义域为22x，故22,2222.xx解得4,11,4x。故xfxf22的定义域为4,11,4.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()fx的定义为[,]ab，则函数[()]fgx的定义域是满足不等式()agxb的x的取值范围；一般地，若函数[()]fgx的定义域是[,]ab，指的是[,]xab，要求()fx的定义域就是[,]xab时()gx的值域。题型3；求函数的值域[例4]已知函数)(6242Raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域[解题思路]应先由已知条件确定a取值范围，然后再将)(af中的绝对值化去之后求值域[解析]依题意，0y恒成立，则0)62(4162aa，解得231a，所以417)23()3(2)(2aaaaf，从而4)1()(maxfaf，419)23()(minfaf，所以)(af的值域是]4,419[【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。[新题导练]3.函数221()log(1)xfxx的定义域为．[解析][3,)；由11,01012xxx解得3x4．定义在R上的函数()yfx的值域为[,]ab，则函数(1)yfx的值域为()A．[1,1]ab；B．[,]ab；C．[1,1]ab；D．无法确定[解析]B；函数(1)yfx的图象可以视为函数()yfx的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的5．若函数()yfx的定义域是]3,1[，则函数(2)()1fxgxx的定义域是[解析]]23,1()1,21[；因为()fx的定义域为]3,1[，所以对()gx，321x但1x故1578948537234-6-]23,1()1,21[x6．若函数()yfx的值域是]3,32[，则函数1()Fxfxfx的值域是[解析]]310,2[；)(xF可以视为以)(xf为变量的函数，令)(xft，则)332(1tttF2222)1)(1(111ttttttF，所以，ttF1在]1,32[上是减函数，在]3,1[上是增函数，故)(xF的最大值是310，最小值是2考点三：映射的概念【例5】[2011·福建卷]设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－[λy1＋(1－λ)y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，∴映射f1具有性质P；②f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2]，λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21＋y1)＋(1－λ)(x22＋y2)，∴f2(λ