2012高考真题分类汇编推理与证明

-1-2012高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,abab3344554,7,11,ababab则1010abA．28B．76C．123D．199【答案】C2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10【答案】B3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV.人们还用过一些类似的近似公式.根据π=3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是11.3169dVB．32dVC．3300157dVD．32111dV【答案】D4.【2012高考真题陕西理11】观察下列不等式213122231151233，474131211222……照此规律，第五个．．．不等式为.【答案】6116151413121122222.【解析】通过观察易知第五个不等式为6116151413121122222.5.【2012高考真题湖南理16】设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称-2-为C变换，将P1分成两段，每段2N个数，并对每段作C变换，得到2p；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段2iN个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.【答案】（1）6；（2）43211n【解析】（1）当N=16时,012345616Pxxxxxxx,可设为(1,2,3,4,5,6,,16),113571524616Pxxxxxxxxx,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616Pxxxxxxxxxxx,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16),x7位于P2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第43211n个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.【2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()nnN位回文数有个．【答案】90，n109【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109种。答案：90（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为n109.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为n109.7.【2012高考真题北京理20】（本小题共13分）-3-【答案】解：（1）由题意可知11.2rA，21.2rA，11.1cA，20.7cA，31.8cA∴0.7kA（2）先用反证法证明1kA≤：若1kA则1|||1|11cAaa，∴0a同理可知0b，∴0ab由题目所有数和为0即1abc∴11cab与题目条件矛盾∴1kA≤．易知当0ab时，1kA存在∴kA的最大值为1（3）kA的最大值为212tt.首先构造满足21()2tkAt的,{}(1,2,1,2,...,21)ijAaijt：1,11,21,1,11,21,211...1,...2tttttaaaaaat，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)ttttttaaaaaatt.经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2trArAt，2121121|()||()|...|()|11(2)22tttttcAcAcAtttt，-4-1221121|()||()|...|()|122tttttcAcAcAtt.下面证明212tt是最大值.若不然，则存在一个数表(2,21)ASt，使得21()2tkAxt.由()kA的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x中.由于1x，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x.设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设gh，则,1gtht.另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于1t个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x（即每个负数均不超过1x）.因此11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)rArAttxttxxttxx，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾.因此kA的最大值为212tt。8.【2012高考真题湖北理】（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()(1)(0)rfxrxxrx，其中r为有理数，且01r.求()fx的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0aa，12,bb为正有理数.若121bb，则12121122bbaaabab；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式1()xx.【答案】（Ⅰ）11()(1)rrfxrrxrx，令()0fx，解得1x.当01x时，()0fx，所以()fx在(0,1)内是减函数；当1x时，()0fx，所以()fx在(1,)内是增函数.故函数()fx在1x处取得最小值(1)0f.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x时，有()(1)0fxf，即(1)rxrxr①若1a，2a中有一个为0，则12121122bbaaabab成立；若1a，2a均不为0，又121bb，可得211bb，于是-5-在①中令12axa，1rb，可得1111122()(1)baabbaa，即111121121(1)bbaaabab，亦即12121122bbaaabab.综上，对120,0aa，1b，2b为正有理数且121bb，总有12121122bbaaabab.②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设12,,,naaa为非负实数，12,,,nbbb为正有理数.若121nbbb，则12121122nbbbnnnaaaababab.③用数学归纳法证明如下：（1）当1n时，11b，有11aa，③成立.（2）假设当nk时，③成立，即若12,,,kaaa为非负实数，12,,,kbbb为正有理数，且121kbbb，则12121122kbbbkkkaaaababab.当1nk时，已知121,,,,kkaaaa为非负实数，121,,,,kkbbbb为正有理数，且1211kkbbbb，此时101kb，即110kb，于是111212121121()kkkkbbbbbbbbkkkkaaaaaaaa=12111111111121()kkkkkkbbbbbbbbkkaaaa.因121111111kkkkbbbbbb，由归纳假设可得1211111112kkkkbbbbbbkaaa1212111111kkkkkbbbaaabbb112211kkkabababb，从而112121kkbbbbkkaaaa1111122111kkbbkkkkabababab.又因11(1)1kkbb，由②得1111122111kkbbkkkkabababab11221111(1)1kkkkkkabababbabb112211kkkkabababab，从而112121kkbbbbkkaaaa112211kkkkabababab.故当1nk时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立.说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对2n成立，则后续证明中不需讨论1n的情况.-6-9.【2012高考真题福建理17】（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.