2013-2014-1工科高数(2-1)期末试卷A答案

12013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计15分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.1．若)(xf在),(a无界，则)(limxfx.（）-------------（1分）例如：xxxfsin)(，在),1(无界，但xxxsinlim.-------（2分）2．若)(xf在0x点连续，则)(xf在0x点必可导.（）-------------（1分）例如：xxf)(，在0x点连续，但xxf)(在0x不可导.------（2分）3．若0limnnnyx，则0limnnx或.0limnny（）--------------（1分）例如：,0,1,0,1:nx,1,0,1,0:ny有0limnnnyx，但nnxlim，nnylim都不存在.----------------------------（2分）4．若0)(0xf，则)(xf在0x点必取得极值.（）-------------------（1分）例如：3)(xxf，0)0(f，但3)(xxf在0x点没有极值.---------（2分）5．若)(xf在],[ba有界，则)(xf在],[ba必可积.（）-------------（1分）例如：.,0,1)(为无理数当为有理数，当xxxD，在]1,0[有界，但)(xD在]1,0[不可积.（2分）二．（共3小题，每小题7分，共计21分）1.指出函数xxxfcot)(的间断点，并判断其类型.解函数xxxfcot)(的间断点为：,2,1,0,kkx-------------------------------------------------------(3分)当,0k即0x时,,1sincoslimcotlim)(lim000xxxxxxfxxx0x为函数xxxfcot)(的第一类可去间断点;-----------------------(2分)2当,2,1,kkx时,,sincoslimcotlim)(limxxxxxxfkxkxkx),2,1(,kkx为函数xxxfcot)(的第二类无穷间断点.---------(2分)2．求极限xxtxdtetx022)1(1lim解xxtxdtetx022)1(1limxxtxexdtet202)1(lim-------------------（3分）xxxexxex)2()1(lim22-----------------------------------------------------------------(3分).121lim22xxxx---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(yxxyyx确定二阶可导函数)(xyy，求22dydx.解1对yxxy两边取对数，得xyyxln1ln1，即xxyylnln，--------------------------------------------------------------(2分)等式两边关于x求导，得：xdxdyyln1)ln1(，即yxdxdyln1ln1，-------(2分)dxdydxddxyd222)ln1(1)ln1()ln1(1ydxdyyxyx----------------------------(2分)322)ln1()ln1()ln1(yxyxxyy.------------------------------------------------(1分)解2对yxxy两边取对数，得xyyxln1ln1，-----------------(2分)等式两边关于x求导，xydxdyxydxdyyxyx11ln111ln122xxxyyyxydxdylnln22（直接再求导比较繁琐，需化简后再求导）-----------------------------------------------------------------------------------------(2分)3由xyyxln1ln1得xxyylnln，xxxyyyxydxdylnln22yxyxyxxyxylnlnyxln1ln1,以下同解1.三．（共3小题，每小题7分，共计21分）1．求不定积分dxxxx23sin1cossin.解)(sinsin1)sin1(sinsin1cossin2223xdxxxdxxxx------------------------（2分）（令txsin）=dtttt221)1(=dtttt212------------------（2分）Ctt)1ln(222=.)sin1ln(sin2122Cxx----------------（3分）2．设x2ln是函数)(xf的一个原函数，求dxxfx)(.解)(ln2)ln(2xfxxx，-------------------------------------------------(2分)Cxdxxf2ln)(，-------------------------------------------------------(2分))()(xdfxdxxfxdxxfxfx)()(.lnln22Cxx--------------------------------------------(3分)3．求定积分dxxxx)2cossin(74344.解dxxxx)2cossin(7434444743442cossindxxdxxx-------(1分)dxx2cos0744-------------------------------------------------------（2分）dxx2cos2740----------------------------------------------------------（2分）（令tx2）dtt720cos----------------------------------------------------------------（1分）4.!!7!!6---------------------------------------------------------------------------（1分）四．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．已知一个长方形的长l以2cm/s的速度增加，宽w以3cm/s的速度增加，则当长为12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y，则222wly-----------------------------------(2分)两边关于t求导，得dtdwwdtdlldtdyy222，即dtdwwdtdlldtdyy------（1）--------------------------------(2分)已知,2dtdl,3dtdw,13512,5,1222ywl代入（1）式，得对角线的增加率：3dtdy（cm/s）.--------------------------------------------------(2分)2．物体按规律2xct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x移至xa时克服阻力所做的功.解ctdtdxtv2)(-----------------------------------------------------------(2分)cxtctckxf444)(2222,--------------------------------------------------(2分)acxdxW04＝22ca.------------------------------------------------------(2分)五．（本题10分）已知xxxfarctan5)(，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解函数的定义域为.),(22214151)(xxxxf，令0)(xf得驻点.2x-----------------------------------------------------------------------------------(1分),)1(10)(22xxxf令0)(xf，得可能拐点的横坐标：.0x--------(1分)列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：5-----------------------------------------------------------------------------------------------------(6分),1)arctan51(lim)(lim1xxxxfaxx,25)arctan5(lim])([lim11xxaxfbxx,1)arctan51(lim)(lim2xxxxfaxx,25)arctan5(lim])([lim22xxaxfbxx渐近线为：.25xy----------------------------------------------------------------(2分)六．（共2小题，每小题7分，共计14分）1.试求曲线)0(2xexyx与x轴所夹的平面图形绕x轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积.解：002dxxedxyVx------------------------------------------------------（4分）xxxexex)1(lim)1(001limxxex----------------------------------------------（3分）2.求微分方程xyyy2345的通解.解特征方程为：,0452rr特征根：.1,421rr-----------------(2分)对应齐次方程的通解为：.241xxeCeCy------------------------------(2分)而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为BAxy*-----------------(1分)代入原方程可得，.811,21BA.8112*xy--------------------(1分)故所要求的通解为.8112241xeCeCyxx--------------------------------(1分))2,(2x)(xf)(xf)(xfy)0,0(拐点2)0,2(2arctan52极小值00)2,0(),2(02arctan52极大值06七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle中值定理，并用此定理证明：方程0cos2coscos21nxaxaxan在),0(内至少有一个实根，