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第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：函数y（k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y=（k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy=k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的图象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的图象是，它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k0时它的图象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k0时，它的图象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：双曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线两垂线与坐标轴围成的矩形面积为，即如图：S矩形ABOC=S△AOB=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的图象和性质例1（2013•云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx在同一坐标系数中的大致图象是（）A．B．C．D．点评：本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．例2（2013•绥化）对于反比例函数y=3x，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，-3）B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小点评：此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题关键．对应训练1．（2013•随州）正比例函数y=kx和反比例函数21kyx（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2013•河北）反比例函数y=mx的图象如图所示，以下结论：①常数m＜-1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（-1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点二：反比例函数解析式的确定例4（2012•哈尔滨）如果反比例函数1kyx的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2B．-2C．-3D．3点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yxB．1yxC．2yxD．2yx考点三：反比例函数k的几何意义例5（2013•内江）如图，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．对应训练5．（2013•锦州）如图，直线y=mx与双曲线kyx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值为（）A．-2B．2C．4D．-4岳阳考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6（2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1D．-2＜x＜1淄博【聚焦山东中考】1．（2013•淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数kyx的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）A．y=4xB．y=2xC．y=1xD．y=12x2、（2013•滨州）若点A（1，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y23、（2013•德州）函数y=1x与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则11ab的值为．4、（2013莱芜市））M（1，a）是一次函数y=3x+2与反比例函数图象的公共点，若将一次函数y=3x+2的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为．5、（2013临沂市）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线xy3在第一象限内的图像经过OB边的中点C，则点B的坐标是（A）(1，3).（B）(3，1).（C）(2，32).（D）(32，2).6、（2013日照市）如右图，直线AB交双曲线xky于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA.若OM=2MC,S⊿OAC=12，则k的值为___________.7、（2013潍坊市）设点11,yxA和22,yxB是反比例函数xky图象上的两个点，当1x＜2x＜0时，1y＜2y，则一次函数kxy2的图象不经过的象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、（2013菏泽市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．①根据图象求k的值；②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•沈阳）在同一平面直角坐标系中，函数y=x-1与函数y=1x的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x-1和2kyx的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2013•衢州）若函数y=2mx的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜-2B．m＜0C．m＞-2D．m＞04．（2013•兰州）当x＞0时，函数y=-5x的图象在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限5．（2013•牡丹江）如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）A．y=12xB．y=1xC．y=2xD．y=14x6．（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最小的是（）A．B．C．D．二、填空题7．（2013•厦门）已知反比例函数y=1mx的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是．8．（2013•黄冈）已知反比例函数y=6x在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB=．营口9．（2013•营口）已知双曲线y=3x和y=kx的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．若CB=2CA，则k=．10．（2013•张家界）如图，直线x=2与反比例函数y=2x和y=-1x的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．11.（2013•衢州）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞012．（2013贵州省六盘水，10，3分）下列图形中，阴影部分面积最大的是（）4AOBS△A．B．C．D．三、解答题13.（2013•安顺）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），连结BO，若.（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积.14.（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=4/3（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．