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矩形重难点易错点辨析矩形的性质题一：矩形具有但平行四边形不一定具有的性质是()A．对角线互相平分B．两组对角分别相等C．两组对边分别相等D．对角线相等矩形的判定题二：下列四个命题中，错误的是()A．有一组邻角相等的平行四边形是矩形B．有三个角都相等的四边形是矩形C．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形直角三角形斜边的中线题三：如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD=BD，AD、CE相交于点F，若∠B=20°，则∠DFE等于()A．70°B．60°C．50°D．40°FEDABC题一：矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补题二：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直题三：下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形题四：下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个题五：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．题六：如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．题七：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．题八：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．题九：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．题十：如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．(1)求证：△BOC≌△EOD；(2)当∠A=12∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．题十一：已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．题十二：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．题十三：已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．题十四：如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．题十五：如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．题一：如图：在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=6cm，AD=8cm，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD垂足为F，求PE+PF．OFEABCDP矩形讲义参考答案重难点易错点辨析题一：D．题二：B．题三：B．矩形课后练习参考答案题一：B．详解：A．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B．题二：B．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B．题三：B．详解：A．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B．题四：C．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C．题五：30°．详解：∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90°，∴∠DAE=30°，∠BAE=60°，∴∠DBA=90°∠BAE=90°60°=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠CAE=∠BAE∠OAB=60°30°=30°．题六：75°．详解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠CED=45°，∴EC=DC，又∵∠BDE=15°，∴∠CDO=60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴∠DCO=60°，∠OCB=90°∠DCO=30°，∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；∴∠COE=(180°-30°)÷2=75°．题七：65．详解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为Rt△ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=12AP，由勾股定理知BC=22ABAC=5，∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AP，∴AP=345=125，∴AM=12AP=65．题八：1+13．详解：作点F关于BC的对称点G，连接EG，交BC于D点，D点即为所求，∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，∴EF为△ABC的中位线，∵BC=2，∴EF=12BC=12×2=1；∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠EFG=∠C=90°，又∵∠ABC=60°，BC=2，FG=AC=23，EG=22EFFG=13，∴DE+FE+DF=EG+EF=1+13．题九：见详解．详解：(1)BD=CD．理由：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；(2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形．题十：见详解．详解：(1)∵△BCF和△ACE是等边三角形，∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，∴∠ECA∠FCA=∠BCF∠FCA，即∠ACB=∠ECF，∵在△ACB和△ECF中，AC=CE，∠ACB=∠ECF，BC=CF，∴△ACB≌△ECF(SAS)，∴EF=AB，∵三角形ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴EF=AD=AB，同理FD=AE=AC，即EF=AD，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=150°时，平行四边形AEFD是矩形，理由：∵△ADB和△ACE是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∵∠BAC=150°，∴∠DAE=360°60°60°150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形AEFD是矩形．(3)当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=60°，∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，∴D、A、E三点共线，即边DA、AE在一条直线上，∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．题十一：见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，∵DE=AD，∴DE=BC，在△BOC和△EOD中，∠OBC=∠OED，BC=DE，∠OCB=∠ODE，∴△BOC≌△EOD(ASA)；(2)∵DE=BC，DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠A=∠ODE，∵∠A=12∠EOC，∴∠ODE=12∠EOC，∵∠ODE+∠OED=∠EOC，∴∠ODE=∠OED，∴OE=OD，∵平行四边形BCED中，CD=2OD，BE=2OE，∴CD=BE，∴平行四边形BCED为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG=AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG=12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG=AB．