2013-2014学年人教版高中数学必修二直线的综合问题-课后练习(含答案)

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班学科：数学专题：直线的综合问题题1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°α90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α题2若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)题3过点A(0,1)作一直线l，使它夹在直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0间的线段被A点平分，试求直线l的方程．题4(1)求经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程；(2)求经过点(0,2)且与直线y＝－3x－5平行的直线方程；(3)求经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程；(4)求经过点(0，2)且与直线y＝3x－5垂直的直线方程．题5直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()A．3B．2C．1D．0题6在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3题7京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．题8若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．题9已知实数a，b满足1ba，求证：(a+2)2+(b+2)2≥252．题10已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO面积的最小值及此时直线l的方程.题11设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．题12实数x、y满足不等式组x≥1y≥0x－y≥0，则ω＝y－1x的取值范围是()A．[－1,0)B．(－∞，0)C．[－1，＋∞)D．[－1,1)京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班课后练习详解题1答案：D详解:如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.题2答案：①⑤详解:两平行线间的距离d＝|3－1|1＋1＝2，又动直线m被l1与l2所截的线段长为22，则动直线m与两平行线的夹角为30°，所以直线m的倾斜角等于75°或15°.题3答案：x＋4y－4＝0.详解:设直线l分别交l1、l2于点P(m，n)和Q(a，b)，则由A为PQ的中点可得a＝－m，b＝2－n.即点Q坐标为(－m,2－n)．又点P在l1上，则m－3n＋10＝0.①同理，点Q在l2上，则2m＋n＋6＝0.②由①②可得m＝－4，n＝2.∴P(－4,2)．∴利用两点式可得y－12－1＝x－0－4－0.∴直线方程为x＋4y－4＝0.题4答案：(1)2x－y－1＝0;(2)3x＋y－2＝0;(3)x－2y＋3＝0;(4)x＋3y＋6＝0.详解:(1)由y＝2x＋7得k1＝2，由两条直线平行知k1＝k2＝2，京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班利用点斜式得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)由y＝－3x－5得k1＝－3，由两条直线平行知k1＝k2＝－3.利用斜截式得所求直线方程为y＝－3x＋2，即3x＋y－2＝0.[(3)由y＝－2x＋7得k1＝－2，由两直线垂直知k1k2＝－1，∴k2＝12.∴利用点斜式得所求的直线方程为y－1＝12(x＋1)，即x－2y＋3＝0.(4)由y＝3x－5得k1＝3，由两直线垂直知k1k2＝－1，∴k2＝－13.利用斜截式得所求直线方程为y＝－13x－2，即x＋3y＋6＝0.题5答案：B详解:方法一：设满足条件的点的坐标为(a，b)．由题意可知7a＋3b－21＝0|a|＝|b|，解得a＝2110b＝2110或a＝214b＝－214，故满足条件的点有两个.方法二：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x与y＝－x上，而直线7x＋3y－21＝0与y＝x和y＝－x各有一个交点，故满足条件的点共两个．题6答案：D.详解:由y＝ax＋1，x＝1得A(1，a＋1)，由x＝1，x＋y－1＝0得B(1,0)，由y＝ax＋1，x＋y－1＝0得C(0,1)．∵△ABC的面积为2，且a－1，京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班∴S△ABC＝12|a＋1|＝2，∴a＝3.题7答案：(1)kAB＝0,AB的倾斜角为0°;kBC＝3,BC的倾斜角为60°;kAC＝33,AC的倾斜角为30°;(2)[33，3]．详解:(1)由斜率公式得kAB＝1-11-(-1)＝0，kBC＝3＋1－12－1＝3.kAC＝3+1-12-(-1)＝33.在区间[0°，180°)范围内．∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.tan30°＝33，∴AC的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为[33，3]．题8答案：322详解:a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离．又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，∴(a－1)2＋(b－1)2即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离，京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班因此，点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离即是(a－1)2＋(b－1)2的最小值．由于点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值为322.题9答案：证明略.详解:本题的几何意义是：直线1ba上的点（a，b）与定点22，的距离的平方不小于225．因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离251112222d，所以25)2()2(22ba，即2252222ba．题10答案：(S△ABO)min=12，2x+3y12=0.详解:方法一：设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为1xyab∵过点P(3,2),∴3221,3ababa,且a＞3，从而21122233ABOaaSabaaa2(3)6(3)999(3)62(3)612333ABOaaSaaaaa，当且仅当933aa，即a=6时等号成立.(S△ABO)min=12，此时26463b.故直线l的方程为164xy，即2x+3y12=0.方法二：依题意知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为y2=k(x3)(k0),则有A(32k,0),B(0,23k),京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班1214()23312922()141122912121222Skkkkkkk当且仅当9k=4k，即k=23时等号成立，(S△ABO)min=12.故所求直线的方程为2x+3y12=0.方法三：如图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.设θ=∠PAM=∠BPN,则S△ABO=S△PBN+S长方形NPMO+S△PMA11133tan62222tan926tan2tan2962tan12,tan2当且仅当29tantan2，即tanθ=23时,(S△ABO)min=12,此时直线l的斜率为23，其方程为2x+3y12=0.题11答案：(1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0;(2)a≤－1.详解:(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．∴a＝2，方程为3x＋y＝0，若a≠2，则a－2a＋1＝a－2，即a＝0，方程为x＋y＋2＝0.∴直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴(1)020aa或(1)=020aa，∴a≤－1.题12答案：D详解:如图所示，y－1x的几何意义为点(0,1)与可行域内点连线的斜率．斜率的取值范围为[－1,1)．