2013-2014学年广东省深圳市第二高级中学高三(上)

2013-2014学年广东省深圳市第二高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．（5分）（2013•婺城区模拟）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩∁UB=（）A．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，∴∁UB={1，4，5}A∩∁UB={1，2}∩{1，4，5}={1}故选C．点评：本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：∵，故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）函数f（x）=x2在点（2，f（2））处的切线方程为（）A．y=4x﹣4B．y=4x+4C．y=4x+2D．y=4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出导函数，令x=2求出切线的斜率，然后利用点斜式写出直线的方程即为所求的切线方程．解答：解：y′=2x当x=2得f′（2）=4所以切线方程为y﹣4=4（x﹣2）即y=4x﹣4．故选A．点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率，属于基础题．4．（5分）已知F1、F2分别为椭圆C的两个焦点，点B为其短轴的一个端点，若△BF1F2为等边三角形，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．2D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由△BF1F2为等边三角形，可得a=2c，利用即可得出．解答：解：∵△BF1F2为等边三角形，∴a=2c，∴．故选B．点评：熟练掌握等边三角形的性质和离心率计算公式即可得出．5．（5分）一个几何体的三视图中主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图为圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式做出结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高是∴圆锥的体积是故选D．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查在旋转体中一些量一般要在轴截面上进行运算，本题是一个基础题．6．（5分）（2011•江西模拟）定义在R上的偶函数满足：对任意x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2都有，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：先根据判断出（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，进而可推断f（x）在x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）上单调递增，又由于f（x）是偶函数，可知在x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．进而可判断出f（3），f（﹣2）和f（1）的大小．解答：解：∵（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，∴则f（x）在x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）上单调递增，又f（x）是偶函数，故f（x）在x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递减．且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，得f（1）＜f（﹣2）＜f（3），故选B．点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．7．（5分）已知f（x）=log2x，函数y=g（x）是它的反函数，则函数y=g（1﹣x）的大致图象是．（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意求得g（x）=2x，可得g（1﹣x）=21﹣x，从而得出结论．解答：解：由于函数y=g（x）是f（x）=log2x的反函数，故g（x）=2x，可得g（1﹣x）=21﹣x，故选D．点评：本题主要考查求一个函数的反函数的方法，求函数的解析式，属于基础题．8．（5分）有下列四个命题：①对于∀x∈R，函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），则函数f（x）的最小正周期为2；②所有指数函数的图象都经过点（0，1）；③若实数a，b满足a+b=1，则+的最小值为9；④已知两个非零向量，，则“”是“”的充要条件．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型．分析：①利用函数的周期性和对称性判断．②利用指数函数的性质判断．③利用基本不等式证明．④利用向量垂直的充要条件判断．解答：解：①满足f（1+x）=f（1﹣x），则函数关于x=1对称，所以①错误．②因为a0=1，所以所有指数函数的图象都经过点（0，1），所以②正确．③+=，当且仅当，即b=2a=时取等号，所以③正确．④因为两个非零向量，，所以“”是“”的充要条件，所以④正确．故选C．点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．9．（5分）（2011•淄博二模）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．3C．4D．6考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．解答：解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故选：D点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．10．（5分）（2011•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数是奇函数，我们可以根据奇函数的性质可将，不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0化为f（a﹣3）＜f（a2﹣9），再根据函数y=f（x）又是减函数，及其定义域为（﹣1，1），我们易将原不等式转化为一个不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．解答：解：∵函数是定义域为（﹣1，1）的奇函数∴﹣f（x）=f（﹣x）又∵y=f（x）是减函数，∴不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0可化为：f（a﹣3）＜﹣f（9﹣a2）即f（a﹣3）＜f（a2﹣9）即解得a∈故选：A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的应用、函数单调性的应用，利用函数的奇偶性和单调性，结合函数的定义域，我们将原不等式转化为不等式组是解答本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，其中14-15为选做题，考生选做其中一道，每小题5分，共20分.）11．（5分）函数y=的定义域为{x|x＞o且x≠1}．考点：函数的定义域及其求法．分析：函数式是分式，分子含有根式，分母含有对数式，函数的定义域是使根式内的代数式大于等于0，且分母不等于0，还要使对数函数有意义．解答：解：要使原函数有意义，则需解得：x＞0且x≠1，所以原函数的定义域为{x|x＞0，且x≠1}．故答案为{x|x＞0，且x≠1}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．12．（5分）函数的单调递增区间是（﹣1，1）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，由外层函数为减函数，只要求内层函数的减区间即可．解答：解：由﹣x2﹣2x+3＞0，得﹣3＜x＜1．所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．令t=﹣x2﹣2x+3，函数的对称轴方程为x=﹣1．当x∈（﹣1，1）时t=﹣x2﹣2x+3单调递减，而y=为定义域内的减函数，所以当x∈（﹣1，1）时函数单调递增．故答案为（﹣1，1）．点评：本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，关键考虑函数的定义域，是中档题．13．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）满足，且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与g（x）=lgx的图象的交点个数为9．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：先证明函数f（x）的周期性，再利用函数周期性画出函数f（x）的图象，在同一直角坐标系下再画出函数y=lgx的图象，数形结合即可求得交点个数解答：解：∵，∴f（x+2）=f（x），∴函数f（x）为周期为2的周期函数∵x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，∴函数f（x）的图象和y=lgx的图象如图：由图数形结合可得函数y=f（x）与函数y=lgx的图象的交点个数为9个故答案为：9．点评：本题主要考查了利用函数图象数形结合解决图象交点问题的方法，利用函数的周期性画周期函数的图象，对数函数的图象和性质．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线l：3ρcosθ﹣4ρsinθ=3的距离为1．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：化点、直线的极坐标为直角坐标，利用点到直线的距离公式，我们可以得到结论．解答：解：点的直角坐标为（0，﹣2）直线l：3ρcosθ﹣4ρsinθ=3的直角坐标方程为：3x﹣4y﹣3=0利用点到直线的距离公式可得：故答案为：1点评：极坐标中的问题，通常是转化为直角坐标，进行解决，掌握转化公式是解决这类问题的关键．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA=126°．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．解答：解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=72°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=∠COD=36°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．故答案为：126°点评：本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若，其中，求sinα的值．考点：余弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由余弦函数的图象与性质，结合题意可得当x=时，函数取得最小值，当x=时，函数取得最大值1；（2）由函数的表达式，结合题意算出．再进行配角α=，利用两角和的正弦公式即可算出sinα的值．解答：解：（1）∵…（1分）∴…（2分）∴当时，即x=时，函数取得最小值；…（4分）当时，即x=时，函数取得最大值1．…（6分）（2）∵，且，…（7分）∴．…（8分）可得：即sinα的值为点评：本题求三角函数在指定区间上的最大最小值，并求特殊三角函数的值．着重考查了任意角的三角函数、余弦函数的图象与性质、两角和的正弦公式等知识，属于中档题．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足c=2bcosA．（1）求证：A=B；（2）若△ABC的面积，，求c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用内角