2013-2014学年广东省珠海一中等六校高三(上)第二次联考数学试卷(理科)

2013-2014学年广东省珠海一中等六校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）1．（5分）设A={0，2}，B={x|x2﹣3x+2=0}，则A∪B=（）A．{0，﹣2，﹣4}B．{0，2，﹣4}C．{0，2，4}D．{0，1，2}考点：并集及其运算．2350853专题：计算题．分析：求出集合B中方程的解得到x的值，确定出集合B，找出A与B的并集即可．解答：解：由集合B中的方程x2﹣3x+2=0，变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即B={1，2}，又A={0，2}，∴A∪B={0，1，2}．故选D点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2011•万州区一模）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0考点：命题的否定．2350853专题：常规题型．分析：对于含有量词的命题的否定，要对量词和结论同时进行否定，“∃”的否定为“∀”，“＜”的否定为“≥”即可求解解答：解解：∵“存在性命题”的否定一定是“全称命题”∴“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1≥0故选C．点评：本题考查了含有量词的命题的否定，要注意对量词和结论同时进行否定，属于基础题．3．（5分）（2013•肇庆一模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2xC．y=|x|D．y=﹣x2考点：奇偶性与单调性的综合．2350853专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据y=x﹣1=在区间（0，+∞）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=﹣x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，得D项不符合题意．再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意．解答：解：对于A，因为函数y=x﹣1=，在区间（0，+∞）上是减函数不满足在区间（0，+∞）上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=|x|是偶函数，而且当x∈（0，+∞）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；2对于D，因为函数y=﹣x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称所以函数y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，故D不符合题意故选：C点评：本题给出几个基本初等函数，要求我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于基础题．4．（5分）（2009•湖北模拟）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒考点：导数的几何意义．2350853专题：计算题．分析：①求出s的导函数s'（t）=2t﹣1②求出s'（3）解答：解：s'（t）=2t﹣1，s'（3）=2×3﹣1=5．故答案为C点评：考查求导法则及导数意义5．（5分）函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点位于（）A．[1，2]B．[2，3]C．[3，4]D．[4，5]考点：函数的零点．2350853专题：函数的性质及应用．分析：利用函数y=lnx，y=2x﹣6，在区间（0，+∞）上单调递增，可得函数f（x）=lnx+2x﹣6在区间（0，+∞）上单调性；由于f（2）=ln2+4﹣6=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，可得f（2）f（3）＜0．利用函数零点的判定定理即可得出．解答：解：∵函数y=lnx，y=2x﹣6，在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）=lnx+2x﹣6在区间（0，+∞）上单调递增．又∵f（2）=ln2+4﹣6=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（2）f（3）＜0．∴函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点位于区间[2，3]．故选B．点评：本题主要考查了函数的单调性和函数零点的判定定理，属于基础题．6．（5分）（2009•湖北）“sinα=”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：二倍角的余弦．2350853分析：利用二倍角的余弦函数公式化简cos2α=，得到sinα的值等于两个值，得到“sinα=”是“”的充分不必要条件即可．解答：解：由可得，故是成立的充分不必要条件，故选A．点评：此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法，灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．37．（5分）（2012•四川）函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．2350853专题：函数的性质及应用．分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=ax﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=ax﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．（5分）如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”．白蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚁爬行的路线是AB→BB1→…．它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中i∈N*）．设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（）A．1B．C．D．0考点：点、线、面间的距离计算．2350853专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先根据题意，通过前几步爬行观察白蚂蚁与黑蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．再计算黑蚂蚁与白蚂蚁爬完2014段后，各自达哪个点顶点处，利用正方体的性质和棱长为1加以计算，即可得到此时它们的距离．解答：解：由题意，可得白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即走过6段后又回到起点A，可以看作以6为周期，同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点A，以6为周期．因此，白蚂蚁爬完2010段后回到A点，再爬4段：AA1→A1D1→D1C1→C1C到达终点C，同理可得黑蚂蚁爬完2010段后到回到A点，再爬4段：AB→BB1→B1C1→C1D1到达的终点D1．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴CD1=，可得黑白二蚁走完第2014段后，它们的距离是故选：B4点评：本题以一个创新例子为载体，考查正方体的性质和距离的计算，同时考查了归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于中档题．二、填空题.本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应位置.9．（5分）（2007•上海）函数的定义域为{x|x＜4且x≠3}．考点：函数的定义域及其求法．2350853分析：欲求此函数的定义域一定要满足：4﹣x＞0，x﹣3≠0，进而求出x的取值范围，得到答案．解答：解：由，解得：x＜4且x≠3故答案为：{x|x＜4且x≠3}点评：对数函数的真数大于0，分母不能是0，是经常在求定义域时被考到的问题．10．（5分）若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=．考点：反函数．2350853专题：函数的性质及应用．分析：我们知道：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）与对数函数y=logax互为反函数，又其图象经过点（，a），据此可求的a的值．解答：解：∵函数y=ax的反函数是f（x）=logax，又已知反函数的图象经过点（，a），∴a=loga，即a=，故答案是：．点评：本题考查了求已知指数函数的反函数，充分理解指数函数与同底的对数函数互为反函数是解决问题的关键．11．（5分）已知函数，则f（﹣3）的值．考点：分段函数的应用．2350853专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据分段函数，利用相应的解析式，即可求得结论．解答：解：由题意，x=﹣3时，f（﹣3）=f（﹣1）=f（1）=f（3）==故答案为：点评：本题考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，则其解析式是f（x）=3sin（2x+）．5考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．2350853专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知A=3，T=π，从而可求ω，再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z）求得φ，即可得其解析式．解答：解：由图知，A=3，T=﹣（﹣）=π，∴ω==2，又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），即×2+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），∴f（x）=3sin（2x+），故答案为：f（x）=3sin（2x+）．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．13．（5分）由曲线y=ex与直线x=0、直线y=e所围成的图形的面积为1．考点：定积分在求面积中的应用．2350853专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求出两曲线y=e，曲线y=ex的交点坐标（1，e），再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来，由公式求出积分，即可得到面积值．解答：解：由题意令，解得交点坐标是（1，e）故由直线y=e，y轴以及曲线y=ex围成的图形的面积为：∫01（e﹣ex）dx=（ex﹣ex）=1．故答案为：1点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解答本题关键是根据题设中的条件建立起面积的积分表达式，再根据相关的公式求出积分的值，用定积分求面积是其重要运用，掌握住一些常用函数的导数的求法是解题的知识保证．14．（5分）设函数，若对任意实数b，函数f（x）的定义域为R，则a的取值范围为（1，+∞）．考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．2350853分析：由函数f（x）有意义，得真数大于＞0，对任意实数b，一元二次不等式ax2+x+（b2﹣b+）＞0恒成立，则，解得a的取值范围．解答：解：函数有意义，则ax2+x+（b2﹣b+）＞0，当a≠0时，对任意实数b，一元二次不等式ax2+x+（b2﹣b+）＞0恒成立，∴，即a＞0时，1﹣4a（b2﹣b+）＜0，整理得4a（b2﹣b+）＞16∵b2﹣b+=+≥，∴a＞≥=1，∴函数f（x）的定义域为R时，a的取值范围是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了对数函数定义域问题，也是一元二次不等式恒成立问题，是容易出错的题目．三、解答题.本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（12分）已知函数，x∈R（1）求的值；（2）若，求．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．2350853专题：三角函数的求值．分析：（1）直接把x=﹣代入函数的解析式化简为﹣sin，从而求得结果．（2）先求得cosθ的值，再利用二倍角公式可得sin2θ和cos2θ的值，再根据，=，运算求得结果解答：解：（1）∵，∴==﹣1．（2）∵，∴，∴，∴，∴==．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．16．（12分）设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R17．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．2350853专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，f′