2013-2014学年度北京市大兴区高三上学期期末考试数学理试题及答案

大兴区2013—2014学年度第一学期期末高三年级统一练习数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合0)2)(4(,3xxxNxxM集合,则MNA.43xxB.32xxC.32xxD.42xx2.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是3、给出下列函数：①()sinfxx；②()tanfxx；③21()1121xxfxxxxx，，，，，；④20()20xxxfxx，，，.则它们共同具有的性质是A.周期性B.偶函数C.奇函数D.无最大值4.已知命题p：1sin,xRx，则p是A.R,sin1xxB.R,sin1xxC.R,sin1xxD.R,sin1xx5.在如右图所示的程序框图中，输入0()cosfxx，则输出的是A.sinB.sinC.cosD.cosxxxx6.已知抛物线24yx的准线过椭圆22221(0)xyabab的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则椭圆的离心率为A.14B.13C.12D.237.某几何体的三视图如图所示，主视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形.则该几何体的表面积为A.6122B.16122C.6123D.161238.工人师傅想对如右图的直角铁皮，用一条直线m将其分成面积相等的两部分.下面是甲、乙、丙、丁四位同学给出的做法，其中做法正确的学生数是A.4个B.3个C.2个D.1个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.点P的极坐标为（32,4）与其对应的直角坐标是_________.10.等差数列｛na｝的公差不为零，首项1a＝1，2a是1a和5a的等比中项，则公差d=____;数列的前10项之和是__________.11.从某班甲、乙、丙等10名同学中选出3个人参加汉字听写，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_______.w.w.w..5.u.c.o.m12.如图，圆内接ABC的角平分线CD延长后交圆于一点E，ED=1，DC=4，BD=2，则AD=_______；EB=______.13.若平面向量a，b满足2ab，ab垂直于x轴，(3,1)b，则a.DECBA俯视图左视图正视图224442214.工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3.对工人师傅所画的曲线，有如下说法（1）是一段抛物线；（2）是一段双曲线；（3）是一段正弦曲线；（4）是一段余弦曲线；（5）是一段圆弧.则正确的说法序号是________.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本题13分)在△ABC中，三个内角A、B、C的对应边为cba、、，π3B.（Ⅰ）当πsin4AC时，求的值；（Ⅱ）设2π()sinsin()3fAAA，求()fA的最大值.16（本题13分）记者在街上随机抽取10人，在一个月内接到的垃圾短信条数统计的茎叶图如下:（Ⅰ）计算样本的平均数及方差；（Ⅱ）现从10人中随机抽出2名，设选出者每月接到的垃圾短信在10条以下的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．0481567820023017.（本题14分）直三棱柱111ABCABC中，ABAC，1ABAC，12AA，D为BC中点.（Ⅰ）求证：1BCAD平面;（Ⅱ）求证：11AB//ACD平面;（Ⅲ）求二面角1DACC的正弦值.18.（本题13分）已知函数xxgxxfln2)(,)(2.(Ⅰ)设()()()hxfxgx，求()hx的最小值；（Ⅱ）如何上下平移)(xf的图象，使得)()(xgxf平移后的图象与的图象有公共点且在公共点处切线相同.19.（本题14分）已知半径为2，圆心在直线2yx上的圆C.（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与y轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使2232QFQE,求圆心的横坐标a的取值范围.20.(本题13分)设Qaa且0,12aab.i(Ⅰ)证明：ab；（Ⅱ）求证：在数轴上，2介于a与b之间，且距a较远；（Ⅲ）在数轴上，ab与之间的距离是否可能为整数？若有，则求出这个整数；若没有，说明理由.大兴区2013—2014学年度第一学期期末高三年级统一练习参考答案数学（理科）第一部分（选择题共40分）一选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)题号12345678答案BACCDCBA第二部分（非选择题共110分）二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9.(-1,1);10.2，100;11.49;12.2，5;13.(3,3)(3,1)aa或;14.③④三、解答题(共6小题，共80分,解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)15.解：（Ⅰ）因为B=π3，又π=4A，所以5π12C.…………………………2分所以5πππ232162sinsinsin().124622224C…5分（Ⅱ）2π()sinsin()3fAAA31sincossin22AAA……………………6分33sincos22AAππ3(cossinsincos)66AA………………8分π3sin()6A……9分因为A是三角形内角，π3B所以2π03A所以ππ5π666A……………………………………10分所以1πsin()126A≤………………………………12分即3()32fA≤所以当π3A时()fA的最大值为3…………………………………13分16解：（Ⅰ）样本的平均次数为17x．……………………………………3分样本的方差为：222222222221[(174)(178)(1715)(1716)(1717)(1718)10(1720)(1720)(1722)(1730)]46.86s分（Ⅱ）由题意,随机变量0X，1，2.2821028(0)45CPXC，112821016(1)45CCPXC，222101(2)45CPXC随机变量X的分布列为X012P284516451452816120124545455EX.…………………………………13分17.(Ⅰ)因为三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC，所以1ABCCC底面所以CC1AD…………………………………1分AB=AC，且D为AC中点ADBC…………………………………2分1BCCCC…………………………………3分AD平面BC1…………………………………4分（Ⅱ）连接A1C交AC1于M，连接DM侧面AC1为平行四边形M为A1C中点…………………………………5分D为BC中点DM//A1B…………………………………6分111,ABACDDMACD平面平面…………7分A1B//平面AC1D…………………………………8分（Ⅲ）在直三棱柱111ABCABC中，AA1平面ABCAA1AB，AA1AC又ABAC…………………………………9分以A为坐标原点，AB为Ox轴，AC为Oy轴，AA1为Oz轴建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（12，12，0），C1（0，1，2），A1（0，0，2），11(,,0)22AD，1(0,1,2)AC…………………………………10分设平面AC1D的法向量为1n=(x,y,z)，11100ADACnn1102220xyyz令z=1，则2,2xy1(2,2,1)n…………………………………11分又AB平面AC1平面AC1的法向量2(1,0,0)ABn…………………………………12分若二面角D-AC1-C的大小为因为12cos,nn1212||||nnnn21055…………………………………13分又由图可知二面角D-AC1-C为锐角，二面角的余弦值为105即10cos5…………………………………14分18.(Ⅰ)xxxhln2)(2，则xxxh22)(，…………2分令0)(xh解得1x，…………3分因）1,0(x时，0)(xh，当),1(x时，0)(xh，…………5分所以当1x时，()hx达到最小，()hx的最小值为1.………7分（Ⅱ）设上下平移)(xf的图象为c个单位的函数解析式为2()fxxc.设xycxyln22与的公共点为),(00yx.依题意有：0002022ln2xxxcx……………………10分解得1,10cx，即将)(xf的图象向下平移1个单位后，两函数图象在公共点（1,0）处有相同的切线.……………………13分19.解:（Ⅰ）∵圆心在直线2yx上，∴可设圆的方程为22()[(2)]4xaya，其圆心坐标为（(,2)aa；………………………………………2分∵圆经过点A（2,2）且与y轴相切，∴有22(2)[2(2)]42aaa解得2a，∴所求方程是：22(2)4xy.………………………………………5分（Ⅱ）22222222(,),32(1)(3)[(1)(1)]32,3,38()[(2)]4310,-2,232512QxyQFQExyxyyQyQCxayaCyCaCyaCa设由得：即点在直线上；分又点在圆:上，圆与直线必须有交点.分圆圆心的纵坐标为半径为，圆与相交的充要条件是1分圆的横坐标的取值范围是：-31.14a分20.(Ⅰ)假设,2,12,aaaaab解得则有：与已知矛盾且Qaa0，所以ab.……………………3分（Ⅱ）22)(2)2(2)(2)1(21)(2)0,(0)12020202022,2,.6abaaaaaaaabbbaabab（或即或介于之间分若ab则：(2)(2)2221(22)(2)102,20,220,10(2)(2)0,22,2.9abaaaaaaaaaaababaab则距较远.当时，同理可证分（Ⅲ）假设存在整数m为ab与之间的距离，不妨设abm，则有222222,110,2(1),20.(2)42,2,202,0.13aaabamaaaamaamammmaaQmmaaaab即只有当时，或与假设矛盾，故与之间的距离不可能为整数分