2014年拔尖创新人才测试数学试题(解析版)

1宜宾市2014年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试数学试卷（解析版）一、选择题：（本大题共6小题,每小题4分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卷对应题目上．1．下列计算正确的是（C）A．156aaB．3232aaaC.babaD.baba222．若x是2的相反数，y=3，则x-y的值是（D）A．-5B．1C．-1或5D．1或-53．如图，几何体的俯视图是（C）4．设21,xx是关于x的一元二次方程03222mxmx的两个不相等的实数根，且满足11121xx，则m的值是（A）A．3B．-3或-1C．-1D．-3或1解析：由△＞0，得43m.由11121xx，得0322mm，解得：1,321xx(不合题意，舍去).5．在ABC中，设D是BC边上的中点，DE平分ADB交AB于点E，DF平分ADC交AC于点F，则EF与BE+CF的关系是（B）A．BE+CF＝EFB．BE+CF＞EFC．BE+CF＜EFD．不能确定解析：如图，取DM=DC=DB，利用全等易证BE=ME，FC=MF，而ME+MF＞EF.6．设对任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有A．－[－x]＝[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]主视方向ABCDFDECBAM2二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填在答题卷对应题中横线上.7．分解因式（应为化简）：8122．28．端午节到了，妈妈去超市买了1个豆沙粽，2个鲜花粽，3个腊肉粽，粽子从外观看都一样，婷婷从中拿走2个粽子，其中一个是鲜花粽，一个是腊肉粽的概率是．解析：画简易树状图，可知有5230129．已知012aa，44aa=．解析：由012aa变形得：11011aaaa，即，72]2)1[(2)1(1222224444aaaaaaaa.这个变形有点绕10．如图，一组平行线321,,lll分别与O的两边相交于点321,,AAA和点321,,BBB，且梯形,,33222211ABBAABBA的面积相等.设线段2,121OAOA,则线段32AA．解析：由2,121OAOA,可知A1是中点，得相似△，相似比为1：2，若设△OA1B1的面积为S，则易得梯形33222211ABBAABBA和梯形的面积为3S，设所求线段长为x，由相似，得7121,71)(231xOAOA即，所以27x.11．如图，在△ABC中，AB=7，AC=17，BC=8，线段BC所在直线以每秒2个单位的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行.该直线与AB、AC分别交于点M、N，记x秒时，并设△AMN中MN边上的高为y.试写出y关于x的函数关系式，自变量x的取值范围是.（10题和11题都主要考察相似，考点重复！）解析：作高AD，设BD为x，由勾股定理可得：222)8(1749xxAD，解之得：6x，即BD=6，可求得AD=13.由相似三角形，得13727yx，所以)27(713xy，（270x）.OB3B2B1A2A1l1l2l3A3DABCMNE312．已知正方形ABCD的边长为7，点E在边AB上，点F在边BC上，3BFAE，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．经多次碰撞，当点P第一次碰回到E时，动点P与正方形的边共碰撞的次数为（包含最后与E点相碰那次）．12三、解答题：（本大题共6小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（各题相加的总分只有71分，呵呵！）13．（本小题满分8分）化简求值：332)141(222aaaaaaa，其中60tana解:原式=13311411aaaaaaaa=1111412aaaaaa=111112aaaaa=11aa=aa21当a=tan60=3时，原式=633………（8分）14．（本小题满分10分）如图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于50表示空气质量为优，空气质量指数大于等于50小于100表示空气质量为良，空气质量指数大于200表示空气为重度污染.（1）请写出这组数据的中位数和众数；（2）若某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，求此人到达当日空气质量为优良的概率.解：（1）中位数：103.5众数：86，160；（2）P(此人到达当日空气质量优良)=136………（10分）415．（本小题满分12分）如图，已知一次函数y=x-(k-2)的图象与反比例函数xky2的图象在第一、三象限交于A、C两点，并且过点（a-1,k）,2AOCS,其中a、k为常数，求a的值.解：设A(11,yx)C(22,yx);根据题意得22kxyxky∴xkkx22………（2分）整理得0222kxkx∴（x+2）(x-k)=01x=-22x=k，设一次函数y=x-(k-2)与y轴相交于点D，∴Dk2,0∴OD=k22AOCS，∴2CODAODSS∴221||2121xODxOD，4)2(2kk反比例函数y=xk2的图象在第一、三象限k＞0①当0＜k＜2有（2-k）(k+2)=4解之k=0此时k不存在②当k＞2有（k-2）(k+2)=4解之k=22该一次函数图象经过点（a-1,b+k）1221)2(1kbakbkakbka124ba………（12分）516．（本小题满分13分）如图：已知菱形ABCD的边长为2，且60D.设11CAB与△ABC全等并重合，将11CAB绕点A旋转，AB1与BC交于点F，AC1与CD交于点E，点F、E和点C构成△CEF.(1)求△ABF与△ADE的面积之和；（2）试探究△CEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△CEF周长的最小值．解：（1）四边形ABCD为菱形AB=BC=CD=AD，60DADCABC,为等边△60DACBCABCADACAD60DAECAEABCCAB116011CABACB即60CAEFACFACDAE在AFC和AED中CAFDAEACADACBDAFCAEDAFCAEDSS32321ABCAFCABFADEABFSSSSS………（6分）(2)CEF的周长存在最小值.理由如下:由(1)知CF=DEAE=AF△CEF的周长EFCFCE=CD+EF=2+EFAFAE且6011ACB△AEF为等边△EF=AF△CEF的周长AF2当AFBC时，△CEF的周长最小在Rt△ABF中，AF=AB60sin=3当AFBC时，△CEF周长的最小值=2+3………（13分）B1C1FEADCB617．（本小题满分14分）如图，已知AB和BC分别与圆O相切于点D、,CAC经过圆心O交圆于点E，2ACAD且2BD．（1）求：圆O的半径；（2）连结DE，作ADEFDE交圆于F点，连结FE并延长交AB于点G，设DF=3，求△GDF的面积．有错！阅卷场已处理了！多了个条件解：（1）连结ODAB，BC是圆O的切线，且BD=22BCBD90ADOACBAAADO∽ACBACADBCODADAC2，BC=2ADADOD221OD圆O的半径为1………（6分）有错（2）延长DO交圆O于点M,连结MEDM为直径，90MED，即90MDEMAB为圆O的切线，90ADM，即90ADEMDEADEM，FM，ADEF，ADEFDE，FDEFEFDEAC经过圆心O，AC垂直平分DF，设垂足为N，3DF，2321DFDN，在Rt△DNO中，sin23ODDNDON，60DON，3021DONFDEADEF，在△DGF中，GDFFDGF180=90在Rt△DGF中，GF=DFsinGDF=2360sin3DG=DFcos23GDF83321GFDGSDGF………（14分）GFEACBDO718．（本小题满分14分）已知抛物线cbxxy2经过点M（2，3），点N（-3，-12）.（1）求这个二次函数的解析式；（2）设抛物线与x轴的负半轴交于A点，与y轴的交点为C点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使AC=AQ？.若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；（3）将抛物线平移，使抛物线的顶点为E（h,k）（h＞0，k＞0），设平移后的抛物线与x轴的交点为1A、B（1A在B点的左侧），与y轴的正半轴交点为D，在四边形1ABED中满足ODABEDSS12，且顶点E恰好落在直线22xy上，求此抛物线的解析式．解:（1）该抛物线cbxxy2经过点M（2，3），点N（-3，-12）1239324cbcb32cb该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3………（3分）（2）存在点Q∵y=-x2+2x+3=2(1)4x，∴该抛物线的对称轴为x=1．设Q点坐标为（1，m），则AQ=24m，又AC=10.由AC=AQ，2410m，解得：6m，∴Q点坐标为（1，6）或（1，6）；∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，6）、（1，6）.………（7分）（3）根据题意，则抛物线的解析式为2()yxhk，抛物线与y轴的交点D(0,kh2),与x轴的交点为A1(kh，0),0()Bhk，.过点E作EF∥DB与x轴交于点F，连接DF，则S△BED=S△BDF.由S△BED=2S△A1OD，∴S△BDF=2S△A1OD.得BF=2A1O=2(hk)设该抛物线的对称轴与x轴交于点H.则HF=hkBFBA23211.于是，由Rt△EHF∽Rt△DOB，有OBDOHFEH．∴232khkkhhkhk，即22520hkhk．8结合题意，解得12hk．①∵点()Ehk，在直线y=-2x+2上，有k=-2h+2．②∴由①②，结合题意，解得1k．有1k，12h．∴抛物线的解析式为234yxx．………（15分）（3）另解：如图DEFOBDBEDSSSS梯形FDA1BOxyE