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2.2.2对数函数及其性质（三）（一）教学目标1．知识与技能（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质.2．过程与方法（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习.（2）综合提高指数、对数的演算能力.（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.3.情感、态度、价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.（二）教学重点、难点重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.难点：反函数概念的理解.（三）教学方法通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系.2.指数式与对数式比较.3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象.老师提问，学生回答.为学习新知作准备.形成概念反函数概念指数函数y=ax（x∈R）与对数函数师：在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），理解反函y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数.师：请同学仿照上述过程，说明对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.生：在函数x=logay中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数.由上述讨论可知，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=ax（x∈R）也是对数函数y=logax（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.数的概念.课堂练习：求下列函数的反函数：（1）y=0.2－x+1；（2）y=loga（4－x）.课堂练习答案（1）5log(1)yx；（2）4xya应用举例例1已知函数y=loga（1－ax）（a＞0，a≠1）.（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称.例1分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－ax的范围，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论.解：（1）1－ax＞0，即ax＜1，∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat.∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.（2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减.∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减.（3）∵y=loga（1－ax），进一步掌握对数函数的应用.例2已知函数f（x）=（21）x（x＞0）和定义在R上的奇函数g（x）.当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的反函数.∴ay=1－ax.∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）.∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y=x对称.例2分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f（x）为奇函数，故应考虑x＞0，x＜0，x=0三种情况.解：∵g（x）是R上的奇函数，∴g（－0）=－g（0），g（0）=0.设x＜0，则－x＞0，∴g（－x）=（21）－x.∴g（x）=－g（－x）=－（21）－x=－2x.∴g（x）=.0,2,0,0,0,)21(xxxxx当x＞0时，由y=（21）x得0＜y＜1且x=log21y，∴g－1（x）=log21x（0＜x＜1＝；当x=0时，由y=0，得g－1（x）=0（x=0）；当x＜0时，由y=－2x，得－1＜y＜0，且x=log2（－y），∴g－1（x）掌握根据奇偶性求函数表达式.例3探究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系.=log2（－x）（－1＜x＜0＝.综上，g（x）的反函数为g－1（x）=.01),(log,0,0,10,log221xxxxx例3分析：函数的图象实际上是一系列点的集合，因此研究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系可以转化为研究两个函数图象上对应点的坐标之间的关系.解：将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3（x+2）的图象.小结：由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x+a）的图象的变化规律为：当a＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象；当a＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象.（2）由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x）+b的图象的变化规律为：当b＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向上平移b个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象；当b＜0时，只需将函数y=f（x）掌握函数图象之间的变换关系的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象.归纳总结（1）指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称.（2）求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质.应熟练掌握对数函数的相关性质.学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.课后作业作业：2.2第六课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1函数log(1)ayx(01)aa且的反函数的图象经过点（1，4），求a的值.【解析】根据反函数的概念，知函数log(1)ayx(01)aa且的反函数的图象经过点（4，1），∴1log3a，∴3a.【小结】若函数()yfx的图象经过点(,)ab，则其反函数的图象经过点(,)ba.例2求函数y=log4(7+6x–x2)的单调区间和值域.【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.【解析】由7+6x–x2＞0，得(x–7)(x+1)＜0，解得–1＜x＜7.∴函数的定义域为{x|–1＜x＜7}.设g(x)=7+6x–x2=–(x–3)2+16.可知，x＜3时g(x)为增函数，x＞3时，g(x)为减函数.因此，若–1＜x1＜x2＜3.则g(x1)＜g(x2)即7+6x1–x12＜7+6x2–x22，而y=log4x为增函数.∴log4(7+6x1–x12)＜log4(7+6x2–x22)，即y1＜y2.故函数y=log4(7+6x–x2)的单调增区间为(–1,3)，同理可知函数y=log4(7+6x–x2)的单调减区间为(3,7).又g(x)=–(x–3)2+16在(–1,7)上的值域为(0,16].所以函数y=log4(7+6x–x2)的值域为(–∞,2].【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义.因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间.求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.