2013-2014学年高中数学第二章单元综合测试新人教A版必修5

1第二章单元综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列解析式中不是数列1，－1,1，－1,1，…的通项公式的是()A．an＝(－1)nB．an＝(－1)n＋1C．an＝(－1)n－1D．an＝1，n为奇数－1，n为偶数解析：该数列为摆动数列，且奇数项为1，偶数项为－1，故B，C，D均正确．答案：A2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析：∵a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15.答案：A3．数列0,0,0，…，0，…()A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列解析：数列{0}是等差数列，但由于等比数列中an≠0，故A正确．答案：A4．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是()A．92B．47C．46D．45解析：由题意可知a1＝1，an＝－89，d＝－1－1＝－2.∴由an＝a1＋(n－1)d，可知n＝46.2答案：C5．已知数列{an}，an≠0，若a1＝3,2an＋1－an＝0，则a6＝()A.316B.332C．16D．32解析：∵2an＋1－an＝0，∴an＋1an＝12，则数列{an}是首项a1＝3，公比q＝12的等比数列．∴an＝a1·qn－1＝3×(12)n－1，∴a6＝3×(12)6－1＝332.答案：B6．已知等比数列{an}中，S2＝7，S4＝28，则S6＝()A．49B．35C．91D．112解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7,21，S6－28成等比数列，∴212＝7×(S6－28)，∴S6＝91.答案：C7．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝48，a2＋a5＋a8＝40，则a3＋a6＋a9的值是()A．30B．32C．34D．36解析：a1＋a4＋a7＝3a4＝48，所以a4＝16.同理可得a5＝403.又a5＝a4＋d＝403，所以d＝－83，所以a6＝a4＋2d＝323，所以a3＋a6＋a9＝3a6＝32.答案：B8．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)等于()A．－8B．8C．－98D.98解析：设d为等差数列的公差，q为等比数列的公比．因－1＝－9＋3d，所以d＝83，所以a2－a1＝83.又－1＝－9·q4，所以q2＝13，b2＝－9q2＝－3，故b2·(a2－a1)＝－8.3答案：A9．等差数列{an}中a10，S3＝S10，则当Sn取最大值时n的值是()A．6B．7C．6或7D．不存在解析：由S3＝S10可知，a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0.∴a7＝0.又a10，∴a60，∴Sn取最大值时n的值为6或7.答案：C10．已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a2n＝22n，由an0得an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n＋2n－2＝n2.答案：C11．定义：称np1＋p2＋…＋pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为12n－1，则数列{an}的通项公式为()A．2n－1B．4n－1C．4n－3D．4n－5解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则由已知得na1＋a2＋…＋an＝nSn＝12n－1，∴Sn＝n(2n－1)＝2n2－n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3当n＝1时，a1＝S1＝2×12－1＝1适合上式，∴an＝4n－3.答案：C12．数列1,2＋12，3＋12＋14，…，n＋12＋14＋…＋12n－1的前n项和为()A．n＋1－(12)n－1B.12n2＋32n＋12n－1－2C.12n2＋12n＋12n－1－2D．n＋12n－1－14解析：an＝n＋12＋122＋…＋12n－1＝n＋12－12n－11－12＝n＋1－12n－1，∴Sn＝(1＋2＋…＋n)＋n－(1＋12＋122＋…＋12n－1)＝nn＋2＋n－1－12n1－12＝12n2＋32n＋12n－1－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．等比数列{an}中，a3＝12，a5＝48，那么a7＝________.解析：由题意可知a3，a5，a7成等比数列，∴a25＝a3·a7，∴a7＝48212＝192.答案：19214．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又当n＝1时，a1＝S1＝2不满足an＝2n－1，∴an＝2n＝，2n－n答案：2n＝2n－n15．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且满足AnBn＝2nn＋3，则a1＋a2＋a12b2＋b4＋b9＝________.解析：a1＋a2＋a12b2＋b4＋b9＝3a1＋12d13b1＋12d2＝a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝9×a1＋a929×b1＋b92＝A9B9＝2×99＋3＝32.答案：3216．在数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2)，Sn是其前n项的和，则Sn等于________．5解析：∵(n＋1)an＝(n－1)an－1，∴anan－1＝n－1n＋1，∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13·1＝2nn＋＝2(1n－1n＋1)．∴Sn＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.答案：2nn＋1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S8＝32，求S10的大小．解：根据题意得a1＋3d2＝a1＋2da1＋6d，8a1＋28d＝32，解得a1＝－3，d＝2.所以S10＝S8＋a9＋a10＝32＋2a1＋17d＝60.18．(12分)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＝a2＋36，a3＝a4＋4，求a1，a2，a3，a4.解：∵a1＝a2＋36，a3＝a4＋4，∴a1－a2＝36，a3－a4＝4.又a1，a2，a3，a4成等比数列，设公比为q，∴a3－a4a1－a2＝q2a1－a2a1－a2＝436＝19，∴q＝±13.(1)当q＝13时，由a1－a2＝a1(1－q)＝36，得a1＝54，∴a2＝18，a3＝6，a4＝2.(2)当q＝－13时，由a1－a2＝a1(1－q)＝36，得a1＝27，∴a2＝－9，a3＝3，a4＝－1.∴a1，a2，a3，a4的值为54,18,6,2或27，－9,3，－1.19．(12分)已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列{an}的前n项和Sn的公式．解：(1)由a1＝3，得2p＋q＝3，又a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，6得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)由(1)得an＝2n＋n，Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋nn＋2.20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Snn)(n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上，(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)设Tn是数列{3anan＋1}的前n项和，求使Tnm20对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.解：(1)依题意，Snn＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝1符合上式，所以an＝6n－5(n∈N＋)．又∵an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6，∴{an}是一个以1为首项，6为公差的等差数列．(2)由(1)知，3anan＋1＝3n－n＋－5]＝12(16n－5－16n＋1)，故Tn＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n－5－16n＋1)]＝12(1－16n＋1)，因此使得12(1－16n＋1)m20(n∈N＋)成立的m必须且仅需满足12≤m20，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.21．(12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，a∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.7解：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13(n≥2)，3n－1an＝n3－n－13＝13(n≥2)，an＝13n(n≥2)．验证n＝1时也满足上式，∴an＝13n(n∈N*)．(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1上述两式相减得：－2Sn＝3＋32＋33＋3n－n·3n＋1＝3－3n＋11－3－n·3n＋1.即Sn＝n2·3n＋1－14·3n＋1＋34.22．(12分)定义：如果一个数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，那么称此数列为“三角形”数列．已知数列{an}满足an＝nd(d0)．(1)试判断数列{an}是否是“三角形”数列，并说明理由；(2)在数列{bn}中，b1＝1，前n项和Sn满足4Sn＋1－3Sn＝4.1°证明数列{bn}是“三角形”数列；2°设d＝1，数列{an·bn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋(34)n·an－160对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)数列{an}不是“三角形”数列．理由如下：由an＝nd得a1＝d，a2＝2d，a3＝3d，所以a1＋a2＝a3，故a1，a2，a3不能构成一个三角形的三边长，即数列{an}不是“三角形”数列．(2)1°由4Sn＋1－3Sn＝4，①得4Sn－3Sn－1＝4(n≥2，n∈N*)．②由①－②得4(Sn＋1－Sn)－3(Sn－Sn－1)＝0，故4bn＋1－3bn＝0，即bn＋1bn＝34(n≥2，n∈N*)．8由4Sn＋1－3Sn＝4得4S2－3S1＝4，即4(b2＋b1)－3b1＝4.又b1＝1，则b2＝34，故bn＋1bn＝34(n∈N*)．所以bn＝b1×(34)n－1＝(34)n－1(n∈N*)．故数列{bn}为单调递减数列．所以bnbn＋1bn＋2.又bn＋1＋bn＋2＝(34)n＋(34)n＋1＝2116·(34)n－1(34)n－1，即bn＋1＋bn＋2bn.故bn，bn＋1，bn＋2能构成一个三角形的边长，所以数列{bn}是“三角形”数列．2°由于an＝n，故an·bn＝n·(34)n－1，所以Tn＝1×1＋2×34＋3×(34)2＋…＋(n－1)×(34)n－2＋n·(34)n－1，③34Tn＝1×34＋2×(34)2＋3×(34)3＋…＋(n－1)×(34)n－1＋n·(34)n，④③－④得：14Tn＝1＋34＋(34)2＋…＋(34)n－1－n·(34)n＝1－34n1－34－n·(34)n.整理得：Tn＝16－4(n＋4)·(34)n.由Tn＋(34)n·an－160，得不等式a4(n2＋4n)对任意的n∈N*恒成立，故a[4(n2＋4n)]min，而[4(n2