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1课时作业11等差数列前n项和的性质及应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知{an}是等差数列，则由下列式子确定的数列{bn}也是等差数列的是()A．bn＝{an}B．bn＝a2nC．bn＝3anD．bn＝1－an解析：bn＋1－bn＝(1－an＋1)－(1－an)＝－(an＋1－an)＝－d(常数)∴{bn}是等差数列答案：D2．等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为()A．0B．100C．1000D．10000解析：{an＋bn}的前100项的和为a1＋a1002＋b1＋b1002＝50(a1＋b100＋b1＋a100)＝50×200＝10000.答案：D3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于()A．36B．18C．72D．9解析：由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝－6＋2＝36.答案：A4．在等差数列{an}中，公差d≠0，首项a1≠d.如果这个数列的前20项的和S20＝10M，则M应是()A．a5＋a15B．a2＋2a10C．2a1＋19dD．a20＋d2解析：∵S20＝20a1＋20×192d＝10(2a1＋19d)＝10M，∴M＝2a1＋19d.答案：C5．等差数列{an}与{bn}，它们的前n项之和分别为Sn与S′n，如SnS′n＝7n＋14n＋27(n∈N*)，则a11b11的值是()A.74B.32C.43D.7871解析：a11b11＝2a112b11＝a1＋a21b1＋b21＝212a1＋a21212b1＋b21＝S21S′21＝7×21＋14×21＋27＝148111＝43.答案：C6．(2012·浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则实数{Sn}是递增数列解析：利用函数思想，通过讨论Sn＝d2n2＋a1－d2n的单调性判断．设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋a1－d2n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d＜0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d＞0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1＜0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1＞0，d＞0，{Sn}必是递增数列，D正确．答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取得最大值的n的值为________．解析：方法1：∵an＝26－2n，3∴Sn＝na1＋an2＝n－2n2＝－n2＋25n.∴当n＝12或13时，Sn有最大值．方法2：令an＝26－2n≥0，an＋1＝26－2n－2≤0，∴12≤n≤13，又∵a13＝0，∴n＝12或n＝13，即当n＝12或13时，Sn有最大值．答案：12或138．已知数列{an}中，an＝2n－8，则|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝________.解析：∵an＝2n－8，∴an－an－1＝2.∴{an}为等差数列且a1＝－6.∴Sn＝n－6＋2n－2＝n(n－7)．令an≥0，得n≥4，∴前4项非正，从a5开始为正．∴|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝－a1－a2－a3－a4＋a5＋…＋a20＝S20－2S4＝20×(20－7)－2×4×(4－7)＝284.答案：2849．在数列{an}中，an＝4n－52，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝________.解析：由an－an－1＝4n－52－[4(n－1)－52]＝4知该数列为等差数列．a1＝4－52＝32，又Sn＝na1＋nn－2d＝2n2－12n＝an2＋bn，得a＝2，b＝－12.∴ab＝－1.答案：－1三、解答题(共计40分)10．(10分)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，得a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，解得a1＝9，d＝－2.4∴an＝9＋(n－1)(－2)＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋nn－2d＝10n－n2，即Sn＝10n－n2.∵Sn＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．11．(15分)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解：(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，∴a6＝S6－S5＝－3－5＝－8.∴5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8，解得a1＝7，d＝－3.∴S6＝－3，a1＝7.(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴(4a1＋9d)2＝d2－8，∴d2≥8，故d的取值范围为d≤－22或d≥22.12．(15分)将全体正整数排列成一个三角形数阵，如图：(1)写出数阵中第6行的各数；(2)写出数阵中第10行的从左至右的第3个数；(3)写出数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数．解：(1)由数阵中每行的数的个数与行数相等知：第6行的各数为16,17,18,19,20,21.(2)第9行的最后一个数为：51＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.所以第10行的从左至右的第3个数为48.(3)前n－1行共有正整数：1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n2－n2(个)．因此数阵中第n行的从左至右的第3个数是全体正整数中第(n2－n2＋3)个，即为n2－n＋62.