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第十一章机械振动11.4单摆【自主预习】1．单摆(1)组成：①，②·(2)理想化要求：①质量关系：细线质量与小球质鼍相比可以·②线度关系：球的与线的长度相比可以忽略·③力的关系：忽略摆动过程中所受作用实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大、小的球和尽量细的线2．单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿方向的分力·(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成，方向总指向。即F=.(3)运动规律：单摆在偏角很小时做运动，其振动图像遵循函数规律．[关键一点]除两个最大位移处，单摆的回复力不是摆球所受的合力．3．探究单摆周期与摆长的关系(1)实验表明，单摆振动的周期与摆球——无关，在振幅较小时与无关，但与摆长有关，摆长，周期越长.(2)周期公式：荷兰物理学家发现单摆的周期丁与摆长L的二次方根成，与重力加速度g的二次方根成他确定为：T=．(3)应用①计时器原理：单摆的等时性校准：调节可调节钟摆的快慢②测重力加速度由gLT2得g=，即只要测出单摆的和，就可以求出当地的重力加速度。【典型例题】一、单摆【例1】单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A．摆线质量不计B．摆线长度不伸缩C．摆球的直径比摆线长度短得多D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动二、单摆的回复力选修3-4【例2】下列关于单摆的说法，正确的是()A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为-AB．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零三、单摆的周期【例3】一个单摆的摆长为L，在其悬点O的正下方0.19L处有一钉子P(如图11－4－2所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角α＜10°，放手使其摆动，求出单摆的振动周期。【例4】将在地面上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球上记录的时间是1h，那么实际的时间是多少？若要在月球上使该钟与地面上时一样准，应如何调节？(已知g月＝g地/6)。四、用单摆测重力加速度【例5】（2012上海宝山高三期末）在用单摆测重力加速度的实验中（1）为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选用的器材的字母填在题后的横线上。（A）长1m左右的细绳；（B）长30m左右的细绳；（C）直径2cm的铅球；（D）直径2cm的铁球；（E）秒表；（F）时钟；（G）最小刻度是厘米的直尺；（H）最小刻度是毫米的直尺。所选择的器材是______________________________________________。（2）实验时摆线偏离竖直线的要求是________________________，理由是_______________________________________________________________________。（3）某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2~L图线，如图所示，再利用图线上任两点A、B的坐标（x1，y1）、（x2，y2），可求得g=。若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其它测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值和真实值相比是的（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。【课后练习】ABLT2x1x2y1y2O1、关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是（）A．就是振子所受的合外力B．振子所受合外力在振子运动方向的分力C．振子的重力在运动方向的分力D．振子经过平衡位置时回复力为零2、用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（）A．不变B．变大C．先变大后变小再回到原值D．先变小后变大再回到原值3、一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是（）A．G甲＞G乙，将摆长适当增长B．G甲＞G乙，将摆长适当缩短C．G甲＜G乙，将摆长适当增长D．G甲＜G乙，将摆长适当缩短4、一绳长为L的单摆，在悬点正下方（L—L＇）处的点有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是（）A．T=2πgLB．T=2πgL/C．T=2π（gL+gL/）D．T=π（gL+gL/）5．关于单摆做简谐运动时所受的回复力，下列说法正确的是()A．是重力和摆线对摆球拉力的合力B．是重力沿圆弧切线方向的分力，另一个沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力平衡C．是重力沿圆弧切线方向的分力，另一个沿摆线方向的分力总是小于或等于摆线对摆球的拉力D．是摆球所受的合力沿圆弧切线方向的分力6．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的()A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅改变C．频率改变，振幅改变D．频率改变，振幅不变7．要使单摆的振动频率加大，可采用下列哪些做法()A．使摆球的质量减小B．使单摆的摆线变长C．将单摆从赤道移到北极D．将单摆从平原移到高山上8..如图4－3所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v1，用时为t1；第二次自B点由ABCabLL′P静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v2，用时为t2，下列关系正确的是()A．t1＝t2，v1v2B．t1t2，v1v2C．t1t2，v1v2D．t1t2，v1v29．一单摆的摆长为40cm，摆球在t＝0时刻正从平衡位置向右运动，若g取10m/s2，则在1s时摆球的运动情况是()A．正向左做减速运动，加速度正在增大B．正向左做加速运动，加速度正在减小C．正向右做减速运动，加速度正在增大D．正向右做加速运动，加速度正在减小10．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图4－4所示，以下说法正确的是()A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大11.有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小角度摆动，如图4－5所示为摆球从右边最高点M摆至左边最高点N的闪光照片(悬点和小钉未摄入)，P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为()A.L4B.L2C.34LD．条件不足，无法判断12．如图4－7所示是两个单摆的振动图象。(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？例题答案：1.【答案】A、B、C【解析】一根不可伸长的且没有质量的细线悬挂一质点组成的装置，我们称作单摆，它是一个理想化模型，所谓理想化是指细线不伸长且无质量，小球的大小不计可视为质点，故A、B、C正确；单摆做简谐运动的条件是细线与竖直方向夹角很小，一般θ＜10°，故D项错误2.【答案】C【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零。摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切线方向的分力)提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零(摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零)。3.【答案】1.9πlg【解析】释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒知B和A等高，此时摆线偏角β＜α＜10°，则摆球始终做简谐运动。摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和，即T＝12T1＋12T2＝π0.81lg＋πlg＝1.9πlg。4【解析】设在地球上该钟的周期为T0，在月球上该钟的周期为T，指示的时间为t。则在月球上该钟的时间t内振动的次数为N＝tT。在地面上振动次数N时所指示的时间为t0，则有N＝t0T0，即tT＝t0T0，所以t0＝T0T·t＝g月g地·t＝66h。地面上的实际时间为66h。要使其与在地面上时一样准，则T＝T0，即2πl月g月＝2πl地g地，l月＝16l地。即应将摆长调到原来的16。5.（1）ACEH（1分）（2）摆线与竖直方向的夹角不超过（或小于）5°（1分）。因为只有在摆角不超过（或小于）5°的情况下，单摆的周期公式gLT2才成立（1分）。（3）121224yyxx（2分）；不变（1分）。课后练习答案：1．BCD2.C3.C4.D5.解析：摆球所受的回复力是合力沿圆弧切线方向的分量，也等于重力沿切线方向的分量，重力沿摆线方向的分力与摆线拉力两者合力提供向心力，这个合力等于零或总指向悬点，故C、D正确。答案：C、D6.解析：单摆的周期与单摆的质量、振幅无关，即改变质量和振幅，周期不变；到达平衡位置时速度减小，说明单摆摆角减小，即振幅减小，故B项正确。答案：B7.解析：由f＝1T＝12πgl知，要使f加大，则g加大或l减小，可知只有C正确。答案：C8.解析：从A、B点均做单摆模型运动，t1＝TA4＝π2Rg，t2＝TA4＝π2Rg，R为球面半径，故t1＝t2；A点离开平衡位置远些，高度差大，故从A点滚下到达平衡位置O时速度大，即v1＞v2。答案：A9.解析：由T＝2πlg，代入数据得T≈1.26s，则1s时，正处于第四个14T内，由左侧最大位移向平衡位置运动，D正确。答案：D10.解析：由振动图象知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确。答案：D11.解析：图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的12，根据周期公式T＝2πlg，可得左半部分单摆的摆长为L4，即小钉距悬点的距离为3L/4，故C选项正确。答案：C12.解析：由图象知T甲＝4s，T乙＝8s，(1)由T＝2πlg得l甲l乙＝T2甲T2乙＝4282＝14。(2)由于乙的周期T乙＝2T甲，故乙由平衡位置第一次到达右方最大位移处时，振动了14个周期，历时2s，此时甲已经过半个周期，因此摆球刚好回到平衡位置且向左运动。答案：(1)1(2)刚好回到平衡位置且向左运动