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2013中考总结复习冲刺导学案：最值、最短路线问题李光明【学习目标】掌握最值问题的研究方法【学习重点】最短路线问题的分析思路【主攻对象】荆州市近七年来中考题中出现的最值问题尤其是最短路线问题的解决方法探究；附题在反面：在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。（2）用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。【问题导学】类型一、最值路线之和最小问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．1、长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））2、有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．3、如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？4.问题：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？(问题数学化：在直线L1和直线L2之间作一条垂线段CD，使得BC+CD+DA最短。)5.如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短。（小结：在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．）ABL2L16．如图，已知直线y＝21x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝21x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标。7.如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。（1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短。AB1056吸管(第14题图)AB1A1BQP第15题图荆州中考零距离----------1、(2006年第15题)．有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm。（结果用带π和根号的式子表示）2、(2008年第14题).如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数据：21.4,31.7,52.2）3、(2009年第14题)．若一边长为40㎝的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为㎝．(铁丝粗细忽略不计)4、(20011年第14题)、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为㎝5、（2013年《学在荆州》P90第6题（新题））6、(2007年第25题第（3）小题).如图，矩形OABC的边OC、OA与x轴、y轴重合，点B的坐标是（3、1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落在点P处（1）若点P在一次函数12xy的图象上（如图甲），求点P的坐标；（2）若点P在抛物线2axy图象上，并满足△PCB是等到腰三角形，请直接写出．．．．该抛物线的解析式；*（3）当线段OD与PC所在的直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值。D图甲PyxOCBADABCOxyP图乙(备用图)7、(2011年第24题（3）小题第1小问)、如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，*①求△ACQ周长的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．