2013中考数学专项突破应用题

2013中考数学专项突破：应用题应用问题（1）知识考点：掌握列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。精典例题：【例1】甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。分析：可设甲组单独完成需要x天，则乙组单独完成需要)5(x天，由题意得：155544xxx注意解分式方程的方法和解应用题的步骤。答案：甲10天，乙15天。【例2】A、B两地间的路程为15千米，早晨6点整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地。乙到达A地后，停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲、乙两人同时到达B地？分析：可从两方面考虑：（1）时间方面：甲步行15千米的时间比乙骑车走30千米的时间多1小时（由20分钟＋40分钟得到），设甲步行每小时走x千米，易列分式方程；（2）速度方面：乙骑车比甲步行每小时多走10千米，设甲所用时间为x小时，易列分式方程。答案：9点钟甲、乙两人同时到达B地。【例3】A、B两地间的路程为36千米，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分钟到达B地，乙再走1小时36分钟到达A地，求两人的速度。分析：画线段图作辅助分析，可得多种解法，若一元方程不易列出时可考虑用方程组解，例如设甲速为x千米／小时，乙速为y千米／小时，则有：yxxyyx)60302)60361(36)60361()60302(答案：108yx探索与创新：【问题一】先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题。编写要求：（1）分别编写一道行程问题的应用题和一道工程问题的应用题，使得根据其题意列出的方程为：110120120xx；（2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且其解符合实际。略解：本题没有唯一确定的答案，但可有丰富多彩的思路，例如把此方程看作行程问题按时间等量关系来列，则可把120看作路程，x、10x看作两个不同对象的速度，前者比后者走完全程多用1小时，而两人可以是同时出发先后到达；也可是先后出发同时到达等等……；如果从路程、从速度来看又有不同的解释。注意：所编题目应符合编写要求。正确设未知数、列、解方程，并检验作答。答案：1x＝30，2x＝－40（舍去）【问题二】某学生做作业时不慎打翻墨水瓶，使一道作业题上看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米／小时，运货汽车的速度为35千米／小时，”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字），请将这道题补充完整，并列方程解答。略解：此题也无唯一答案，仅给一例供参考，补充部分：“若两车分别从两地同时开出，相向而行，经过几小时两车相遇？”解：设经过x小时两车相遇，依题意可得：403545xx解得：21x答：经过21小时两车相遇。跟踪训练：一、填空题：1、某工程甲独做x天完成，乙独做y天完成，两人合做天可完成这个工程。2、快艇往返甲、乙两地之间，顺水速度为60千米／小时，逆水速度为40千米／小时，则该船往返一趟的平均速度是。二、行程问题：1、甲、乙两人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，两人每小时各走多少千米？2、一汽船往返于相距120千米的两地，共航行10小时，已知水流速度是5千米／小时。求这只汽船在静水中的航行速度。3、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，若同向而行，则经过a小时快者追上慢者；若相向而行，则经过b小时两人相遇。那么快者与慢者的速度比是多少？4、甲、乙两人同时从同一地点出发，同向而行，甲骑自行车、乙步行，如果乙先走12千米，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用21小时就能追上乙。求两人的速度各是多少？5、甲、乙两人分别在A、B两地同时相向出发，当甲到半路时，乙离终点还有24千米；而乙走到半路时，甲离终点还有15千米。问甲到达终点时，乙离终点还有多少千米？6、两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。（1）求两车的速度之和及两车相向而行慢车驶过快车某窗口（慢车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用时间；（2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米／秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为多少秒？三、工程问题：1、甲、乙两组工人合做某项工作12天后，因甲组工人另有任务而由乙组工人继续做了3天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组快6天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。2、某厂赶制50个零件，制好18个以后，改进操作方法每天可以多制2个，这样共用7天完成任务，求改进操作方法以后每天制作的零件数。3、某乡搞改水工程，计划用25个劳力在规定时间内挖1000个土方，施工4天后，抽调5个劳力搞其它工作，但由于每人每天多挖1个土方，结果按计划完成，求原计划每人每天挖多少土方？4、甲、乙共同完成一项工作需要4天，甲单独工作3天后剩下部分由乙去做，乙还需工作的天数等于甲单独完成此项工程的天数。两人单独完成这项工程各需的天数是多少？5、正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成；需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？6、某商店出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔的价格是多少元？参考答案一、填空题：1、yxxy；2、48千米／小时；二、行程问题：1、甲速6千米／小时，乙速5千米／小时；2、25千米／小时；3、baba4、甲速18千米／小时，乙速6千米／小时；5、8千米；6、（1）设快、慢车的速度分别为x米／秒，y米／秒，则205100yx即2021vv设慢车驶过快车某个窗口需1t秒，则1150tyx∴1t＝7.5秒（2）所求时间yyxt2202501501002（y≥8）则仅当y＝8时，2t的值最小，此时2t＝62.5秒三、工程问题：1、甲24天、乙30天；2、8个；3、4方；4、甲6天、乙12天；5、甲30天、135万元，乙120天、60万元；6、4元应用问题（2）知识考点：掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能灵活运用不等式（组）、函数、几何等数学知识，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。精典例题：【例1】某校2002年秋季初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2003年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加15％，这样2003年秋季初一、高一年级招生人数比2002年增加18％，求2003年秋季初一、高一的计划招生人数各是多少？分析：本题解法较多，可设直接未知数，也可设间接未知数，可列一元方程、也可列二元方程组，无论选择何种思路均要从增长率基本公式入手。答案：初一360人，高一230人。【例2】今年入夏以来，湖北部分地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库向甲、乙两地送水。甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米。问完成甲、乙两地送水任务还各需多少天？分析：对于比较生蔬的题型尤其要仔细审题，在充分理解题意后，再从不同侧面分析。例如对甲地有如下信息：（1）共需送水180万立方米，前后两次已送水2＋3＝5（天），问还需送水多少天（可设x天），则：（1）往甲地每天的送水量为5180x；（2）前后两次各送了水35180x和25180x（万立方米）对乙地进行类似地分析，即可得方程组。答案：甲地5天，乙地3天。【例3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？分析：（1）设每件衬衫应降价x元，则由盈利1200)220)(40(xx可解出x但要注意“尽快减少库存”决定取舍。（2）当x取不同的值时，盈利随x变化，可配方为：1250)15(22x求最大值。但若联系二次函数的最值求解，可设：)220)(40(xxy8006022xxy结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。答案：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。探索与创新：【问题一】现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？略解：（1）设用A型车厢x节，则用B型车厢)40(x节，总运费为y万元，则：322.0)40(8.06.0xxxy（2）依题意得：880)40(35151240)40(2535xxxx解得：24≤x≤26∴x＝24或25或26∴共有三种方案安排车厢。（3）由322.0xy知，x越大，y越小，故当x＝26时，运费最省，这时，32262.0y＝26.8（万元）【问题二】在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?分析：该题联系生活实际，设计巧妙，要求学生有较强的阅读理解能力，综合应用不等式、方程、函数等方面的知识建立数学模型；对学生如何运用所学数学知识解决实际问题（即将实际问题转化为数学问题）的能力提出了较高的要求。本题解题方法多，给学生发挥才能的空间大，是一道考查学生分析问题和解决问题能力的好题。解法1：设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟y人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口，依题意得:ynxayxayxa55102103030，由（1）、（2）消去x得15ay（4），代入（1）得30ax（5），将（4）和（5）代入（3）得6aa≤3an，而0a，所以n≥3.5，又n为整数，因此n＝4，故至少需同时开放4个检票口。解法2：利用检票时间相等建立等量关系，即不管开放几个检票口，每位旅客的检票时间相等，得xanxaxa55102103030（字母含义与解法1相同），以下解法略。解法3：设开始检票后每分钟新增加旅客为b人，检票的速度为每分钟c人，开放检票口的个数为y个，检票时间为x分钟，依题意，y与x之间的函数关系为cxbxay，而x＝30，y