2013中考数学压轴题函数面积问题

12013中考数学压轴题函数面积问题例1如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)Ppp(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx(x＞0)和myx(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．满分解答2（1）因为点B(2，1)在双曲线myx上，所以m＝2．设直线l的解析式为ykxb，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得0,21.kbkb解得1,1.kb所以直线l的解析式为1yx．（2）由点(,1)Ppp(p＞1)的坐标可知，点P在直线1yx上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此222()4(1)xxxx．解得1132x或1132x（此时点P在x轴下方，舍去）．此时1132p．②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此222()4(1)xxxx．解得152x或152x（此时点P在x轴下方，舍去）．此时152p．考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．3情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6例2如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．4图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2．思路点拨1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．2．点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上．因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．满分解答（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（1，0），所以934,10.bcbc解得6,5.bc所以二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线x＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）．CEMMEFCOEOFMCSSSS梯形111(4)321442222ttt．（ⅰ）如图2，当点M位于线段BF上时，ttSABM42)4(21．解方程)4(242tt，得58t．此时点M的坐标为（3，58）．5（ⅱ）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，42)4(21ttSABM．解方程)4(242tt，得8t．此时点M的坐标为（3，8）．图2图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C、M、A三点在同一条直线上；△CEM的周长最小．可以求得直线AC的解析式为445yx，当x＝3时，85y．因此点M（3，58）在直线AC上．因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以ME＋MC＝MA＋MC．当A、M、C三点共线时，ME＋MC最小，△CEM的周长最小．