2013北师大版初三下册圆数学知识点总结

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第1页2013最新版初三下册数学知识点总结第一天第一章直角三角形边的关系※一.正切:正切..即的邻边的对边AAAtan;正弦,即斜边的对边AAsin;余弦,即斜边的邻边AAcos;①)90cos(sinAA;)90sin(cosAAsin2A+cos2A=1(5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR21※如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角..(或叫做坡比..)。用字母i表示,即Alhitan(第二天)第三章圆1.点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.二.圆的对称性:※1.与圆相关的概念:④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆...。⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧..。⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角....⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距....※2.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。※3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。0º30º45º60ºsinα0212223cosα1232221tanα03313第2页※4.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(第三天)三.圆周角和圆心角的关系:※1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;※四.确定圆的条件:※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.(第四天)五.直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;①dr===直线L和⊙O相交.②d=r===直线L和⊙O相切.③dr===直线L和⊙O相离.※3.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.(第五天)5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.※6.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六.圆和圆的位置关系.※2.两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离===dR+r(2)两圆外切===d=R+r(3)两圆相交===R-rdR+r(R≥r)第3页(4)两圆内切===d=R-r(Rr)(5)两圆内含===dR-r(Rr)※3.相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.※4.相交两圆的性质;相交两圆的连心线垂直平分公共弦.(第六天)七.弧长及扇形的面积※1.圆周长公式:圆周长C=2R(R表示圆的半径)※2.弧长公式:弧长180Rnl(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)※5.圆的面积公式.圆的面积2RS(R表示圆的半径)※6.扇形的面积公式:扇形的面积3602RnS扇形(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)八.圆锥的有关概念:※2.圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:rlrlclS22121侧)(2lrrrrlSSS底面侧表¤九.与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.¤十.圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征:①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.※十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理(数学优秀者请理解)1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。如图6,∵PA,PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,PO平分∠APB2.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。如图7,CD切⊙O于C,则,∠ACD=∠B3.和圆有关的比例线段:①相交弦定理:圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等;_图6_P_O_B_A第4页②推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图8,AP•PB=CP•PD如图9,若CD⊥AB于P,AB为⊙O直径,则CP2=AP•PB4.切割线定理①切割线定理,从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;②推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图10,①PT切⊙O于T,PA是割线,点A、B是它与⊙O的交点,则PT2=PA•PB②PA、PC是⊙O的两条割线,则PD•PC=PB•PA5.两圆连心线的性质①如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,或者说,连心线过切点。②如果两圆相交,那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图11,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。6.两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图12,AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B,连结O1A,O2B,过O2作O2C⊥O1A于C,公切线长为l,两圆的圆心距为d,半径分别为R,r则外公切线长:22)(rRdL如图13,AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B,O2C∥AB,O2C⊥O1C于C,⊙O1半径为R,⊙O2半径为r,则内公切线长:22)(rRdL_O_B_D_P_A_C图8_图9_P_A_B_C_D_O_图10_B_D_C_O_A_T_P_图11_B_C_A_O_2_O_1_O_2_d_C_R_r_A_B_O_1_图13_O_C_D_A_B_图7

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