第A1页共6页考试方式:闭卷太原理工大学高等代数试卷A卷适用专业:2014数学各专业考试日期:2015.1.16时间:120分钟共8页.一、(每小题3分,共36分)I.单项选择题(将你认为正确答案填在括号内)1.下列结论正确的是().A.初等矩阵的逆矩阵就是本身;B.初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵;C.初等矩阵乘积仍是初等矩阵;D.任何n级矩阵都可以写成初等矩阵的乘积的形式.2.A是n级对称矩阵,B是n级反对称矩阵,则下列矩阵是反对称矩阵的是().A.ABBA;B.ABBA;C.2()AB;D.BAB.3.设,AB为n级方阵,E为n级单位阵,则以下命题中正确的是()A.222()2ABAABB;B.22()()ABABAB;C.222()ABAB;D.2()()AEAEAE.4.设A为矩阵,123,,ηηη是非齐次方程组Axb的3个线性无关的解,则下列说法不正确的是()(A)123ηηη是非齐次方程组3Axb的解;(B)122331,,,ηηηηηη是齐次方程组0Ax的一个基础解系;(C)2131,ηηηη是齐次方程组0Ax的一个基础解系;(D)矩阵A的秩()1rA.5.设,AB均非零矩阵,满足0AB,则,AB必有()A.()0rA或()0rB;B.()rAn或()rBn;C.()rAn或()rBn;D.()rAn且()rBn.6.下列行列式中不一定等于12nλλλ的是()(A)112122000nnnλaaλaλ;(B)1222000nnnnnλλaλaa;题号一二三四总分得分得分评卷人学院系专业班级姓名学号(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计)…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………第A2页共6页(C)121212000nnnλaλaaλ;(D)12100000000000000nnλλλλ.II.填空题7.多项式()fx满足(1)3,(2)4ff,则(1)(2)xx除()fx的余式为.8.一个无解的非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,则增广矩阵的秩为.9.方程2311111220144188xxx的根为.10.,AB分别为,nm级非退化方阵,则00AB与00AB的比值为.11.设A是数域P上的n级矩阵,*A是A的伴随矩阵,若*A的秩*()1rA,则A的秩()rA.12.设n级矩阵111111111aaAa(2n),若A退化且它的秩()1rA,则a.得分评卷人二、(共24分)(13)(本题7分)设()fx与()gx是数域P上的多项式,且((),())1fxgx,证明(()(),()())1fxgxfxgx.(14)(本题7分)设多项式5432()41024fxxxxxx第A3页共6页(1)求()fx全部有理根,并写出()fx在有理数域上的标准分解式;(2)在复数域上,写出()fx的标准分解式.(15)(本题10分)求向量组1(1,0,2,1)T,2(1,2,0,1)T,3(2,1,3,0)T,4(1,1,3,1)T的秩及其一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示其余向量.得分评卷人三、(共22分)第A4页共6页(16)(1)(本题6分)计算n级行列式11111111111111111aaDaa(2)(本题6分)已知行列式1012110311101254D,计算41424344AAAA(17)(本题10分)设1ΛPAP,其中1411P,10Λ02,求2015A.第A5页共6页得分评卷人四、(共18分)(18)(本题10分)线性方程组1234512345234512345132322635433xxxxxxxxxxaxxxxxxxxxb,讨论,ab为何值时方程组无解、有解,在有解求其通解,用基础解系表示通解.第A6页共6页(19)(本题共8分)(1)设,AB是n级方阵且0AB.证明()()rArBn,其中(),()rArB分别表示矩阵,AB的秩;(2)设A为n(2n)级可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,*A、*B分别为A、B的伴随矩阵,计算交换*A的第1列与第2列所得的结果.