2013复习高中数学三角函数试题及答案详解222

-1-1已知函数f(x)＝tan2x＋π4.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈0，π4，若fα2＝2cos2α，求α的大小．2在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．3已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．4在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.5在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________.6△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.图1－57如图1－5，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．28若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．9设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝14.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．10在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sinC2.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．11△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()A．23B．22C.3D.212△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.13△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．14在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．15在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝14b2.(1)当p＝54，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．16在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝233，求边c的值．17在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝C,2b＝3a.(1)求cosA的值；(2)求cos2A＋π4的值．18设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2π2－x满足f－π3＝f(0)．求函数f(x)在π4，11π24-2-上的最大值和最小值．19设函数f(x)＝sinxcosx－3cos(x＋π)cosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝f(x)的图象按b＝π4，32平移后得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在0，π4上的最大值．20函数f(x)＝2cos2x－3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为()A．2π，3B．2π，1C．π，3D．π，121函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求f(x)的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．22在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A∶∠B＝1∶2，且a∶b＝1∶3，则cos2B的值是()A．－12B.12C．－32D.3223在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝14(b2＋c2－a2)，则∠B＝()A．90°B．60°C．45°D．30°1已知函数f(x)＝tan2x＋π4.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈0，π4，若fα2＝2cos2α，求α的大小．课标理数15.C7[2011·天津卷]【解答】(1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z.所以f(x)的定义域为x∈Rx≠π8＋kπ2，k∈Z.f(x)的最小正周期为π2.(2)由fα2＝2cos2α，得tanα＋π4＝2cos2α，sina＋π4cosα＋π4＝2(cos2α－sin2α)，整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈0，π4，所以sinα＋cosα≠0，因此(cosα－sinα)2＝12，即sin2α＝12.由α∈0，π4，得2α∈0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.2在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．课标文数16.C8[2011·安徽卷]本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．【解答】由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，cosA＝12，sinA-3-＝32.再由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝22.由ba知BA，所以B不是最大角，Bπ2，从而cosB＝1－sin2B＝22.由上述结果知sinC＝sin(A＋B)＝2232＋12.设边BC上的高为h，则有h＝bsinC＝3＋12.3已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．153【解析】不妨设∠A＝120°，cb，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝b2＋b－42－b＋422bb－4＝－12，解得b＝10，所以c＝6.所以S＝12bcsin120°＝153.4在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.【解析】因为tanA＝2，所以sinA＝255；再由正弦定理有：asinA＝bsinB，即a255＝522，可得a＝210.5在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________.课标文数9.C8[2011·北京卷]523【解析】由正弦定理有：asinA＝bsinB，即a13＝522，得a＝523.6△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.【解答】由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a＝b×sinAsinB＝2＋62＝1＋3，c＝b×sinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.课标理数14.C8图1－57如图1－5，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．2【解析】在△ABC中，由余弦定理，有cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝2322×2×23＝32，则∠ACB＝30°.在△ACD中，由正弦定理，有ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝AC·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD的长度等于2.8若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．课标文数14.C8[2011·福建卷]2【解析】方法一：由S△ABC＝12AC·BCsinC，得-4-12AC·2sin60°＝3，解得AC＝2.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴AB＝2，即边AB的长度等于2.方法二：由S△ABC＝12AC·BCsinC，得12AC·2sin60°＝3，解得AC＝2.∴AC＝BC＝2,又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB＝2，即边AB的长度等于2.9设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝14.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．课标理数16.C8[2011·湖北卷]【解答】(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×14＝4，∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.(2)∵cosC＝14，∴sinC＝1－cos2C＝1－142＝154，∴sinA＝asinCc＝1542＝158.∵ac，∴AC，故A为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝1－1582＝78.∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝78×14＋158×154＝1116.10在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sinC2.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．课标理数17.C8[2011·江西卷]【解答】(1)由已知得sinC＋sinC2＝1－cosC，即sinC22cosC2＋1＝2sin2C2，由sinC2≠0得2cosC2＋1＝2sinC2，即sinC2－cosC2＝12，两边平方得：sinC＝34.(2)由sinC2－cosC2＝12＞0得π4＜C2＜π2，即π2＜C＜π，则由sinC＝34得cosC＝－74，由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋27，所以c＝7＋1.11△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()A．23B．22C.3D.2课标理数4.C8[2011·辽宁卷]D【解析】由正弦定理asinA＝bsinB得asinB＝bsinA，所以asinAsinB＋bcos2A＝2a化为bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a，故选D.12△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【解答】(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.-5-由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB＞0，故cosB＝22，所以B＝45°.13△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．1534【解析】解法1：由正弦定理，有ACsinB＝ABsinC，即7sin120°＝5sinC，所以sinC＝5sin120°7＝5314，所以cosC＝1－sin2C＝1－53142＝1114，又因为A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝60°，所以sinA＝sin(60°－C)＝sin60°cosC－cos60°sinC＝32×1114－12×5314＝3314，所以S△ABC＝12AB·ACsinA＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC＝x(x0)，由余弦定理，有cos120°＝52＋x2－7210x，整理得x2＋5x－24＝0，解得x＝3，或x＝－8(舍去)，即BC＝3所以S△ABC＝12AB·BCsinB＝12×5