2014高考数学人教A版(通用版_理)一轮复习讲义选修4-4_坐标系与参数方程

第一节坐标系[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力．2.以解答题形式出现，难度不大，如2012年新课标高考T23等.[归纳·知识整合]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究]1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.[探究]2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ0,0≤θ2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ≤π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a－π2＜θ＜π2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)[自测·牛刀小试]1．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程．解：由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，故x2＋y2＝x.2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程．解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1.3．在极坐标系中，求点A2，π2关于直线l∶ρcosθ＝1的对称点的一个极坐标．解：在直角坐标系中，A(0,2)，l：x＝1，点A关于l的对称点为(2,2)，所以ρ＝22＋22＝22，θ＝π4，所以此点极坐标为22，π4.4．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，求AB的长．解：曲线ρ＝4cosθ，即为圆x2＋y2－4x＝0，过A(3,0)且与极轴垂直的直线为x＝3，将x＝3代入x2＋y2－4x＝0，得y2＝12－9＝3，解得y＝±3.故AB＝23.5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，求该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离．解：直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1化为2x＋y－1＝0，圆ρ＝2cosθ的圆心(1,0)到直线2x＋y－1＝0的距离是55.伸缩变换的应用[例1]求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．[自主解答]由x′＝12x，y′＝y得到x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x′2＋y′2＝1.若椭圆x24＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为x′216＋y′24＝1，求满足的伸缩的变换．解：设变换为x′＝λxλ0，y′＝μyμ0，代入x′216＋y′24＝1，得λ2x216＋μ2y24＝1，与x24＋y2＝1的系数对比，得λ＝2，μ＝1，即x′＝2x，y′＝y.因此经过变换x′＝2x，y′＝y后，椭圆x24＋y2＝1变换为x′216＋y′24＝1.———————————————————求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λx，y′＝μy的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．1．在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换x′＝x，y′＝12y后得到的曲线方程为y′＝lg(x′＋5)，求曲线C的方程．解：将x′＝x，y′＝12y代入y′＝lg(x′＋5)得12y＝lg(x＋5)，即y＝2lg(x＋5)为所求曲线C的方程.极坐标与直角坐标的互化[例2]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[自主解答](1)由ρ＝2知ρ2＝4所以x2＋y2＝4；因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.———————————————————极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．2．(2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P的极坐标．解析：由极坐标与直角坐标的互化公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y可得，ρcosθ＝1，ρsinθ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2kπ－π3(k∈Z)，故点P的极坐标为2，2kπ－π3(k∈Z)．3．求以点A(2,0)为圆心，且过点B23，π6的圆的极坐标方程．解：由已知圆的半径为AB＝22＋232－2×2×23cosπ6＝2，又圆的圆心坐标为A(2,0)，所以圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得圆的极坐标方程是ρ＝4cosθ.极坐标系的综合问题[例3]从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．[自主解答](1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2＝3x，即x－322＋y2＝322，知P的轨迹是以32，0为圆心，半径为32的圆．直线l的直角坐标方程是x＝4.结合图形易得|RP|的最小值为1.———————————————————求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用；二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解．使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．(2013·西安五校联考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，求曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标．解：ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得x2＋y2－2y＝0，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为2，3π4.5．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离．解：将ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d＝|0－23|2＝3.1个互化——极坐标与直角坐标的互化(1)互化的三个前提条件①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合；③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲易误警示——极坐标系中的解题误区[典例](2012·湖南高考改编)在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值．[解]直线方程为2x＋y－1＝0，与x轴的交点为22，0，圆的方程为x2＋y2＝a2，把交点22，0代入得222＋02＝a2，又a0，所以a＝22.[易误辨析](1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程．(2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况．[变式训练]已知两曲线的极坐标方程C1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C2：ρ＝4cosθ，求两曲线交点的直角坐标．解：C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝4(y≥0)，C2的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.将两方程联立，解方程组得x＝1，y＝±3.又因为y≥0，舍去y＝－3，所以两曲线交点坐标为(1，3)．1．已知直线的极坐标方程ρsinθ＋π4＝22，求极点到直线的距离．解：∵ρsinθ＋π4＝22，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，即直角坐标方程为x＋y＝1.又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d＝|0＋0－1|2＝22.2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线方程为3x＋4y＋a＝0，又圆与直线相切，所以|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a＝2或a＝－8.3．(2012·江西高考改编)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．解：将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入x2＋y2－2x＝0得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ.4．已知圆M的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．解：原方程化为ρ2－42ρ