2014高考数学文科分类汇编不等式

11.不等式的概念与性质[2014·山东卷]已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A．x3y3B．sinxsinyC．ln(x2＋1)ln(y2＋1)D.1x2＋11y2＋15．A[解析]因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以x3y3恒成立．故选A.[2014·四川卷]若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bd5．B[解析]因为c＜d＜0，所以1d＜1c＜0，即－1d＞－1c＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－ad＞－bc＞0，所以adbc，故选B.2.绝对值不等式的解法[2014·安徽卷]若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为()A．5或8B．－1或5C．－1或－4D．－4或89．D[解析]当a≥2时，f(x)＝3x＋a＋1（x－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x－a2.由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8.2当a2时，f(x)3x＋a＋1x－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x－1）.由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.[2014·辽宁卷]已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝cosπx，x∈0，12，2x－1，x∈12，＋∞，则不等式f(x－1)≤12的解集为()A.14，23∪43，74B.－34，－13∪14，23C.13，34∪43，74D.－34，－13∪13，3410．A[解析]由题可知，当x∈0，12时，函数f(x)单调递减，由cosπx≤12，得13≤x≤12；当x∈12，＋∞时，函数f(x)单调递增，由2x－1≤12，得12x≤34.故当x≥0时，由f(x)≤12，得13≤x≤34.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)≤12的解解集为－34，－13∪13，34，所以不等式f(x－1)≤12的解满足－34≤x－1≤－13或13≤x－1≤34，解得x∈14，23∪43，74.[2014·全国卷]不等式组x（x＋2）＞0，|x|＜1的解集为()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}3．C[解析]由x（x＋2）0，|x|1，得x0或x－2，－1x1，即0x1.33.一元二次不等式的解法[2014·全国卷]不等式组x（x＋2）＞0，|x|＜1的解集为()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}3．C[解析]由x（x＋2）0，|x|1，得x0或x－2，－1x1，即0x1.4.简单的一元高次不等式的解法简单的线性规划问题[2014·安徽卷]不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．13．4[解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S△ABD＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.[2014·北京卷]若x，y满足y≤1，x－y－1≤0，x＋y－1≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．13．1[解析]可行域如图，当目标函数线z＝y＋3x过可行域内A点时，z有最小值，联立y＝1，x＋y－1＝0，得A(0，1)，故zmin＝3×0＋1×1＝1.4[2014·福建卷]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A．5B．29C．37D．4911．C[解析]作出不等式组x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C与x轴相切，得b＝1.解方程组x＋y－7＝0，y＝1，得x＝6，y＝1，即直线x＋y－7＝0与直线y＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P.又点C∈Ω，则当点C与P重合时，a取得最大值，所以，a2＋b2的最大值为62＋12＝37，故选C.[2014·广东卷]若变量x，y满足约束条件x＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则z＝2x＋y的最大值等于()A．7B．8C．10D．114．D[解析]作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线l：2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A(4，3)时，直线l5的截距最大，此时z＝zx＋y取得最大值，最大值是11.[2014·湖北卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则2x＋y的最大值是()A．2B．4C．7D．84．C[解析]作出约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7.故选C.[2014·湖南卷]若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥1，则z＝2x＋y的最大值为________．13．7[解析]依题意，画出可行域，如图所示．由x＋y＝4，y＝1得点B的坐标为(3，1)，则z＝2x＋y在B(3，1)处取得最大值7.6[2014·辽宁卷]已知x，y满足约束条件2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．14．18[解析]不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z＝3x＋4y得y＝－34x＋z4，当直线经过点C时，z取得最大值．由x－2y＋4＝0，3x－y－3＝0，得x＝2，y＝3，故C点坐标为(2，3)，这时z＝3×2＋4×3＝18.[2014·全国卷]设x，y满足约束条件x－y≥0，x＋2y≤3，x－2y≤1，则z＝x＋4y的最大值为________．15．5[解析]如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界)，z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－14x＋14z的截距最大时z的值．结合题意知，当y＝－14x＋14z经过点A时，z取得最大值，联立x－y＝0和x＋2y＝3，可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax＝1＋4＝5.[2014·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．8B．7C．2D．19．B[解析]作出约束条件表示的可行域(略)，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点(3，2)时，目标函数取得最大值，zmax＝3＋2×2＝7.7[2014·全国新课标卷Ⅰ]设x，y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－311．B[解析]当a0时，作出相应的可行域，可知目标函数z＝x＋ay不存在最小值．当a≥0时，作出可行域如图，易知当－1a＞－1，即a＞1时，目标函数在A点取得最小值．由Aa－12，a＋12，知zmin＝a－12＋a2＋a2＝7，解得a＝3或－5(舍去)．[2014·山东卷]已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a0，b0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.5D．210．B[解析]画出关于x，y的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．显然当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，目标函数z＝ax＋by取得最小值，即25＝2a＋b，所以25－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(25－2a)28＝5a2－85a＋20.构造函数m(a)＝5a2－85a＋20(0a5)，显然当a＝455时，函数m(a)取得最小值4.故a2＋b2的最小值为4.[2014·四川卷]执行如图1­2的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()图1­2A．0B．1C．2D．36．C[解析]题中程序输出的是在x＋y≤1，x≥0，y≥0的条件下S＝2x＋y的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取最大值2，21，故选C.[2014·天津卷]设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．52．B[解析]作出可行域，如图中阴影部分所示．联立x＋y－2＝0，y＝1，解得x＝1，y＝1，可得点A(1，1)．当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝1×1＋2×1＝3.[2014·浙江卷]若实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1，则x＋y的取值范围是________．12．[1，3][解析]实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C1，32.令z＝x＋y，则y＝－x＋z.当直线y9＝－x＋z经过A点时，z取最小值1；经过B点时，z取最大值3.故x＋y的取值范围是[1，3]．2abab5.基本不等式[2014·重庆卷]若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋439．D[解析]由log4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝ab，则4a＋3b＝1，所以a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab，即a＝4＋23，b＝23＋3时等号成立，故其最小值是7＋43.[2014·湖北卷]某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100[解析](1)依题意知，l0，v0，所以当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v·121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋100＝76000v＋100v＋18≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．[2014·江苏卷]若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是______．1014.6－24[解析]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋2b＝2c.故cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋2b222ab＝34a2＋12b2－22ab2ab＝34a2＋12b22ab－24≥234a2·12b22ab－24＝6－24，当且仅当3a2＝2b2，即ab＝23时等号成立．[2014·辽宁卷]对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，1a＋2b＋4c的最小值为________．16．－1[解析]因为4a2－2ab＋b2－