2013届人教A版文科数学课时试题及解析(30)等差数列

学而思网校课时作业(三十)[第30讲等差数列][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差为()A．7B．6C．3D．22．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a6＋a7＝()A．21B．28C．32D．353．已知数列{an}是等差数列，若a1＋a5＋a9＝2π，则cos(a2＋a8)＝()A．－12B．－32C.12D.324．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．能力提升5．数列{an}满足a1＝1，a2＝23，且1an－1＋1an＋1＝2an(n≥2)，则an等于()A.2n＋1B.2n＋2C.23nD.23n－16．已知等差数列{an}满足a3＋a13－a8＝2，则{an}的前15项和S15＝()A．10B．15C．30D．607．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋…＋a7，则k＝()A．21B．22C．23D．248．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列1an＋1是等差数列，则a11等于()A．－25B.12C.23D．59．已知数列{an}满足an＋1＝an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝18，则log3(a5＋a7＋a9)的值为()A．－3B．3C．2D．－210．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.11．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，则a36＝________.12．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________．13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________．14．(10分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．15．(13分)在数列{an}中，a1＝4，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线y＝x－2上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝an，试比较an与bn的大小．学而思网校．(12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．学而思网校课时作业(三十)【基础热身】1．C[解析]S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.故选C.2．B[解析]因为2a4＝a3＋a5，所以3a4＝12，即a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a6＋a7＝7a4＝28.故选B.3．A[解析]由已知得a5＝2π3，而a2＋a8＝2a5＝4π3，所以cos(a2＋a8)＝－12.故选A.4．110[解析]设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋20×192×d＝20，解之得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.【能力提升】5．A[解析]解法1(直接法)：由1an－1＋1an＋1＝2an(n≥2)，得数列1an是等差数列，其首项1a1＝1，公差d＝1a2－1a1＝32－1＝12，∴1an＝1＋(n－1)·12＝n＋12，则an＝2n＋1，故选A.解法2(特值法)：当n＝1时，a1＝1，排除B，C；当n＝2时，1a1＋1a3＝2a2，∴a3＝12，排除D，故选A.6．C[解析]由a3＋a13－a8＝2，得2a8－a8＝2，所以a8＝2，所以S15＝15a1＋a152＝15a8＝30.故选C.7．B[解析]由已知等式得(k－1)d＝7×7－1d2，所以k－1＝21，即k＝22.故选B.8．B[解析]设1an＋1的公差为d，则有1a7＋1＝1a3＋1＋4d，解得d＝124，所以1a11＋1＝1a3＋1＋8d，即1a11＋1＝12＋1＋13，解得a11＝12.故选B.9．B[解析]因为{an}是等差数列，公差为1，且a2＋a4＋a6＝18，所以a5＋a7＋a9＝27，所以所求值为3.故选B.10．－1[解析]由S2＝S6，得2a1＋d＝6a1＋6×52d解得4(a1＋3d)＋2d＝0，即2a4＋d＝0，所以a4＋(a4＋d)＝0，即a5＝－a4＝－1.11．4[解析]因为对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，所以an＋1－an＝a1＝19，数列{an}是以a1＝19为首项，公差为19的等差数列，故a36＝19＋(36－1)×19＝4.12．405[解析]由a2＝a1＋d＝6，a5＝a1＋4d＝15⇒a1＝3，d＝3，所以an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a3n＝9n，数列{bn}的前9项和为S9＝9＋812×9＝405.13．3[解析]由题意知：an＋an＋1＝5，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，…，a18＝3.14．[解答](1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.学而思网校＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求．15．[解答](1)因为点(an，an－1)在直线y＝x－2上，所以an＝an－1＋2，即数列{an}是以a1＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列．所以an＝2＋2(n－1)＝2n，所以an＝4n2.(2)方法一：因为b1＋b2＋…＋bn＝an，所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4，当n＝1时，b1＝a1＝4，满足上式．所以bn＝8n－4，所以an－bn＝4n2－(8n－4)＝4(n－1)2≥0，所以an≥bn.方法二：由b1＋b2＋…＋bn＝an得，an－bn＝an－1＝4(n－1)2≥0，所以an≥bn.【难点突破】16．[解答](1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差数列．证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得：a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．