2013届人教A版文科数学课时试题及解析(40)空间几何体的表面积和体积

学而思网校课时作业(四十)[第40讲空间几何体的表面积和体积][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．有一个几何体的三视图及其尺寸如图K40－1(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm2图K40－1图K40－22．图K40－2是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则图中正视图所标a＝()A．1B.32C.3D．233．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为()A．8πB．4πC.32π3D.423π4．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4cm和6cm，侧棱长为5cm，则它的侧面积为________．能力提升5．图K40－3是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18πD．24π图K40－3学而思网校－46．已知某个几何体的三视图如图K40－4(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是()A．288＋36πB．60πC．288＋72πD．288＋18π7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是()A．963B．163C．243D．4838．如图K40－5，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.92B．5C．6D.152图K40－5图K40－69．如图K40－6，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P－ABC，则此正三棱锥的侧面积是()A．35B．513C．315D．41510．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图K40－7所示，则其表面积等于________．图K40－7学而思网校－811．一个几何体的三视图如图K40－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图K40－912．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，则四面体P－CDQ的体积是________．13．圆锥的底面半径为3，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为________．14．(10分)已知某几何体的俯视图是如图K40－10所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.图K40－1015．(13分)圆锥底面半径为5cm，高为12cm，有一个内接圆柱，其上底圆周在圆锥的侧面上，下底在圆锥底面内，求内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积为最大？最大值是多少？图K40－11难点突破16．(12分)如图K40－12所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．图K40－12学而思网校课时作业(四十)【基础热身】1．C[解析]该几何体是底面半径等于3，母线长等于5的圆锥，其表面积S表＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)．2．C[解析]由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得V＝12×2×a×3＝33，∴a＝3.3．A[解析]如图，设截面的半径为r，则πr2＝π，r＝1，又已知球心与截面的距离d＝1，则球的半径R＝r2＋d2＝2，球的表面积V＝4πR2＝8π.4．506cm2[解析]侧面高为52－1＝26，所以侧面积为S＝5×4＋6×262＝506(cm2)．【能力提升】5．B[解析]由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为1，下底半径为2，母线长为4，所以该几何体的侧面积为π×(1＋2)×4＝12π.故选B.6．A[解析]依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8.因此该几何体的体积V＝8×6×6＋12×π×32×8＝288＋36π.7．D[解析]由43πR3＝323π，∴R＝2，∴正三棱柱的高h＝4，设其底面边长为a，则13×32a＝2，∴a＝43，∴V＝34×(43)2×4＝483.8．D[解析]如图所示，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝13×32×2＝6.由于AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.∴VF－BEC＝VC－EFB＝12VC－ABE＝12VE－ABC＝32，∴VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VF－BEC＝6＋32＝152.9．C[解答]设球心为O，连接PO、AO、BO.因为P－ABC是正三棱锥，所以PO⊥底面ABC，且PO＝AO＝2，所以PA＝22.作PD⊥AB于D，则D为AB的中点．连接OD.学而思网校△AOB中，∠AOB＝120°，AO＝BO＝2，所以AB＝23，DO＝1.在Rt△POD中，得PD＝5，所以棱锥的侧面积为3×12·AB·PD＝32×23×5＝315.故选C.10．6＋23[解析]由正视图可知，该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，其表面积为2×34×4＋3×2×1＝6＋23.11．4[解析]根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V＝2×1×1＋1×1×2＝4.12.112V[解析]设长方体的长、宽、高分别为AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.由题意知PD＝12c，S△CDQ＝12·CD·AD＝12ab，∴VP－CDQ＝13S△CDQ·PD＝13×12ab×12c＝112abc＝112V.13．4π[解析]如图，球心为O，圆锥底面圆心为O1，OO1为球半径，AO1为圆锥底面圆半径，∠O1AO＝30°，OO1＝33AO1＝1，所以球的表面积为4π.14．[解答]由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．(1)V＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝42＋822＝42，另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝42＋622＝5，因此侧面积S＝212×6×42＋12×8×5＝40＋242.15．[解答]作圆锥的轴截面，它也是内接圆柱的轴截面，设内接圆柱的半径为x，内接圆柱的高为h，则有12－hx＝125，∴h＝12－125x，因此内接圆柱的表面积是x的函数，S圆柱侧＝2πxh＝2πx12－125x(0＜x＜5)，S底＝πx2，∴S圆柱全＝2πx12－125x＋2πx2＝2πx12－75x＝10π7·7x512－75x≤10π7×62＝3607π(cm2)．当且仅当7x5＝12－75x，即x＝307时，等号成立．因此，当内接圆柱的底面半径为307cm时，内接圆柱的表面积最大，最大表面积是3607π学而思网校【难点突破】16．[解答](1)证明：由题设知A、B、C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC.取BC的中点D，连接AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，∴BC⊥面PAD，故PA⊥BC.(2)由题设有AB＝AC＝12P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝AB2－BD2＝12.在等腰三角形DPA中，底边PA上的高h＝AD2－12PA2＝119，∴S△DPA＝12PA·h＝5119.又BC⊥面PAD，∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA＝13BD·S△DPA＋13DC·S△PDA＝13BC·S△PDA＝13×10×5119＝503119.