2013届人教A版理科数学课时试题及解析(28)等差数列B

学而思网校课时作业(二十八)B[第28讲等差数列][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．数列{an}对任意n∈N*，满足an＋1＝an＋3，且a3＝8，则S10等于()A．155B．160C．172D．2402．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a9＋a11＝30，那么S13的值是()A．65B．70C．130D．2603．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝()A．21B．22C．23D．244．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.能力提升5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差d是()A.12B．1C．2D．36．{an}是首项为1，公差为2的等差数列，令bn＝a3n，则数列{bn}的一个通项公式是()A．bn＝3n＋2B．bn＝4n＋1C．bn＝6n－1D．bn＝8n－37．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．248．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A．5B．6C．7D．89．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，则a36＝________.10．若数列{an}满足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列1xn为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.11．已知数列{an}满足a1＝t，an＋1－an＋2＝0(t∈N*，n∈N*)，记数列{an}的前n项和的最大值为f(t)，则f(t)＝________.12．(13分)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.难点突破13．(12分)设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{an}的通项公式；学而思网校(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝k＝1nbk，证明：Sn＜1.学而思网校课时作业(二十八)B【基础热身】1．A[解析]由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3，则数列{an}是公差d＝3的等差数列，由a3＝8，得a1＋2d＝8，a1＝2，所以S10＝10×2＋10×92×3＝155，故选A.2．C[解析]设等差数列{an}的公差为d，由a1＋a9＋a11＝30，得a1＋a1＋8d＋a1＋10d＝30，即a1＋6d＝10，∴S13＝13a1＋13×122d＝13(a1＋6d)＝130，故选C.3．B[解析]由已知，有a1＋(k－1)d＝7a1＋7×62d，把a1＝0代入，得k＝22，故选B.4．－1[解析]由S2＝S6，得2a1＋d＝6a1＋6×52d解得4(a1＋3d)＋2d＝0，即2a4＋d＝0，所以a4＋(a4＋d)＝0，即a5＝－a4＝－1.【能力提升】5．C[解析]由S33－S22＝1，得13(3a1＋3d)－12(2a1＋d)＝1，解得d＝2，故选C.6．C[解析]由已知，得{an}的通项公式为an＝2n－1，则数列{bn}的前4项为5,11,17,23，即数列{bn}是首项b1＝5，公差为6的等差数列，它的一个通项公式为bn＝6n－1，故选C.7．B[解析]由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，∴a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.8．C[解析]方法1：S3＝S11得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列性质可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n＝7时，Sn最大．方法2：由S3＝S11可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数性质，当n＝7时Sn最大．方法3：根据a1＝13，S3＝S11，这个数列的公差不等于零，说明这个数列的和先是单调递增的，然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当S3＝S11时，只有n＝3＋112＝7时，Sn取得最大值．9．4[解析]因为对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，所以an＋1－an＝a1＝19，数列{an}是以a1＝19为首项，公差为19的等差数列，故a36＝19＋(36－1)×19＝4.10．20[解析]由调和数列的定义，得xn＋1－xn＝d，即数列{xn}是等差数列，则x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11，∴x1＋x2＋…＋x20＝10(x1＋x20)＝200，故x5＋x16＝x1＋x20＝20.11.t2＋2t4，t为偶数，t＋124，t为奇数[解析]由已知an＋1－an＝－2，则数列{an}是公差为－2的等差数列，数列{an}的前n项和为Sn＝nt＋nn－12×(－2)＝－n2＋(t＋1)n＝－n－t＋122＋t＋124.若t为奇数，t＋12是整数，则当n＝t＋12时，Sn有最大值t＋124；若t为偶数，则t＋12不是整数，则当n＝t2或n＝t2＋1时，Sn有最大值t2＋2t4.学而思网校(t)＝t2＋2t4t为偶数，t＋124t为奇数.12．[解答](1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1a2n－1＝12n＋12－1＝14·1nn＋1＝14·1n－1n＋1，所以Tn＝14·1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝14·1－1n＋1＝n4n＋1，即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.【难点突破】13．[解答](1)由题设11－an＋1－11－an＝1，即11－an是公差为1的等差数列．又11－a1＝1，故11－an＝n.所以an＝1－1n.(2)证明：由(1)得bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1，∴Sn＝∑nk＝1bk＝∑nk＝11k－1k＋1＝1－1n＋11.