学而思网校课时作业(八)[第8讲指数函数、对数函数、幂函数][时间:45分钟分值:100分]基础热身1.集合A={(x,y)|y=a},集合B={(x,y)|y=bx+1,b0,b≠1},若集合A∩B只有一个子集,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.R2.下列说法中,正确的是()①任取x∈R都有3x2x;②当a1时,任取x∈R都有axa-x;③y=(3)-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象对称于y轴.A.①②④B.④⑤C.②③④D.①⑤3.函数y=xax|x|(0a1)的图象的大致形状是()图K8-14.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是()A.m≤-1B.-1≤m<0C.m≥1D.0<m≤1能力提升5.已知函数f(x)=log3x,x0,2x,x≤0,则ff19=()A.4B.14C.-4D.-146.在同一直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值为()A.-eB.-1eC.eD.1e7.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=flog123,c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系是()A.cabB.cbaC.bcaD.abc8.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象如图K8-2所示,则函数g(x)=ax+b的图象是()学而思网校-2图K8-39.设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)0的x的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,loga3)D.(loga3,+∞)10.很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样.污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次,能过滤出有害物质的34.若过滤n次后,流出的水中有害物质在原来的1%以下,则n的最小值为________(参考数据lg2≈0.3010).11.对于任意实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=aa≤b,bab,则函数f(x)=log12(3x-2)*log2x的值域为________.12.若函数f(x)=ax-x-a(a0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.13.函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,当x∈M时,则f(x)=2x+2-3×4x的最大值为________.14.(10分)已知函数f(x)=-x+log21-x1+x.(1)求f12013+f-12013的值;(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1],a是常数,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.15.(13分)设a0,f(x)=exa+aex是R上的偶函数(其中e≈2.71828).(1)求a的值;(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.学而思网校.(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23,且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.学而思网校课时作业(八)【基础热身】1.B[解析]∵y=bx+11,如果A∩B只有一个子集,则A∩B=∅,∴a≤1.2.B[解析]利用指数函数的性质判断.3.D[解析]x0时,y=ax;x0时,y=-ax.即把函数y=ax(0a1,x≠0)的图象在x0时不变,在x0时,沿x轴对称.4.A[解析]∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.∵y=2|1-x|+m≥1+m,∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则1+m≤0,即m≤-1.【能力提升】5.B[解析]根据分段函数可得f19=log319=-2,则ff19=f(-2)=2-2=14,所以B正确.6.B[解析]因为点(m,-1)在函数y=f(x)的图象上,点(m,-1)关于y轴对称的点(-m,-1)必在函数y=g(x)的图象上,点(-m,-1)关于直线y=x对称的点(-1,-m)必在y=ex的图象上,所以-m=e-1,∴m=-1e.故选B.7.B[解析]log123=-log23=-log49,b=flog123=f(-log49)=f(log49),log47log49,0.2-0.6=15-35=535=5125532=2log49.又f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(0.2-0.6)flog123f(log47),即cba,选B.8.A[解析]由图形可知b-1,0a1,所以函数g(x)=ax+b在定义域上单调递减,且与x轴负半轴相交,所以选A.9.C[解析]f(x)0⇔loga(a2x-2ax-2)0⇔loga(a2x-2ax-2)loga1,因为0a1,所以a2x-2ax-21,即(ax)2-2ax+14⇔(ax-1)24⇔ax-12或ax-1-2,所以ax3或ax-1(舍去),因此xloga3,故选C.10.4[解析]设原有的有害物质为a,则过滤n次后有害物质还有14na,令14n<1%,则n>1lg2,即n≥4,所以n的最小值为4.11.(-∞,0][解析]在同一直角坐标系中画出函数y=log12(3x-2)和y=log2x的图象,由图象可得f(x)=log2x0x≤1,log123x-2x1,值域为(-∞,0].12.a1[解析]设函数y=ax(a0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a0且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a0,且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.由图象可知,当0a1时,两函数只有一个交点,不符合;当a1时,因为函数y=ax(a1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a1.学而思网校[解析]由3-4x+x2>0,得x>3或x<1,∴M={x|x>3或x<1}.f(x)=-3×(2x)2+2x+2=-32x-162+2512.∵x>3或x<1,∴2x>8或0<2x<2,∴当2x=16,即x=log216时,f(x)最大,最大值为2512.14.[解析](1)由1-x1+x0,得(x+1)(x-1)0,解得-1x1.∴函数f(x)的定义域为(-1,1).又∵f(-x)=x+log21+x1-x=x-log21-x1+x=-f(x).∴函数f(x)为奇函数,即f(-x)+f(x)=0,∴f12013+f-12013=0.(2)存在最小值,任取x1、x2∈(-1,1)且设x1x2,则f(x2)-f(x1)=(x1-x2)+log21-x21+x2-log21-x11+x1,易知f(x2)-f(x1)0,∴函数f(x)为(-1,1)上的减函数,又x∈(-a,a]且a∈(0,1],∴f(x)min=f(a)=-a+log21-a1+a.15.[解答](1)依题意,对一切x∈R有f(x)=f(-x),即exa+aex=1aex+aex,所以a-1aex-1ex=0对一切x∈R成立.由此得到a-1a=0,即a2=1.又因为a0,所以a=1.(2)证明:设0x1x2,f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+1ex1-1ex2=(ex2-ex1)1ex1+x2-1=ex1(ex2-x1-1)·1-ex2+x1ex2+x1由x10,x20,x2-x10,得x1+x20,ex2-x1-10,1-ex2+x10,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.【难点突破】16.[解答](1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,得f(0)=0.令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.(2)f(3)=log230,即f(3)f(0),又f(x)是R上的单调函数,所以f(x)在R上是增函数.又由(1)知f(x)是奇函数.学而思网校(k·3x)+f(3x-9x-2)0⇔f(k·3x)f(9x-3x+2)⇔k·3x9x-3x+2,即(3x)2-(1+k)3x+20对任意x∈R恒成立.令t=3x0,问题等价于t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立.令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为t=1+k2,当t=1+k2≤0,即k≤-1时,g(0)=20,符合题意;当t=1+k20,即k-1时,则需满足g1+k20,解得-1k-1+22.综上所述,当k-1+22时,f(k·3x)+f(3x-9x-2)0对任意x∈R恒成立.本题还有更简捷的解法:分离系数由k3x+23x-1,令u=3x+23x-1,u的最小值为22-1,则要使对任意x∈R不等式k3x+23x-1恒成立,只要使k22-1.