搜索
第1页（共16页）2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=．2．（3分）设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于．3．（3分）直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，则实数m=．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=．5．（3分）直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为．（结果用反三角函数值表示）6．（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=．7．（3分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=．8．（3分）规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是．9．（3分）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=．10．（3分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是．11．（3分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．12．（3分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）第2页（共16页）13．（4分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件14．（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程15．（4分）若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则（）A．≥1B．≤1C．a2+b2≥1D．a2+b2≤116．（4分）△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是（）A．12B．10C．8D．不是定值三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．（8分）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．18．（8分）已知||=，||=1，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围．19．（10分）已知x，y满足条件：，求：（1）4x﹣3y的最小值；（2）的取值范围．20．（10分）在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．21．（12分）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；第3页（共16页）（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．第4页（共16页）2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）（2015秋•上海校级期中）在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=．【考点】直线的倾斜角．菁优网版权所有【分析】设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，即可得出．【解答】解：设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，∵α∈[0，π），∴α=，故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系及其计算公式，属于基础题．2．（3分）（2016•洛阳四模）设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于﹣．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有【分析】由题意可得的坐标，由⊥可得•=0，解关于k的方程可得．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1，2）+（k，k）=（1+k，2+k），∵⊥，∴•=1+k+2+k=0，解得k=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查平面向量的数量积和垂直关系，属基础题．3．（3分）（2015秋•上海校级期中）直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，则实数m=0或3．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有【分析】由直线垂直可得m（m+3）﹣6m=0，解方程可得m值．【解答】解：∵直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，第5页（共16页）∴m（m+3）﹣6m=0，解得m=0或m=3，故答案为：0或3．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4．（3分）（2015秋•上海校级期中）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=6．【考点】三阶矩阵．菁优网版权所有【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．【解答】解：∵三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，∴﹣=10，∴﹣[2×（﹣2）﹣k]=10，∴k=6．故答案为：6．【点评】本题考查了行列式的代数余子式，本题难度不大，属于基础题．5．（3分）（2015秋•上海校级期中）直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为arccos．（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的方向向量．菁优网版权所有【分析】先求出直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，从而能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值，由此能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角大小．【解答】解：∵直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值是=，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角大小为arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查两直线夹角大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的方向向量的概念的合理运用．6．（3分）（2015秋•上海校级期中）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=﹣4．第6页（共16页）【考点】不定方程和方程组．菁优网版权所有【分析】由已知得到，由此能求出m+n的值．【解答】解：∵增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，∴，解得m=﹣2，n=﹣2，∴m+n=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵解方程组的性质的合理运用．7．（3分）（2016•葫芦岛一模）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4．【考点】圆的一般方程．菁优网版权所有【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（3分）（2008•上海一模）规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是．【考点】二阶行列式的定义．菁优网版权所有【分析】按照规定的矩阵运算，进行化简，利用矩阵相等的概念，列出关于x的方程，并解出x即可．【解答】解：==，∴3x=1，x=第7页（共16页）故答案为：【点评】本题考查矩阵的运算，方程思想，属于基础题．9．（3分）（2012•怀柔区二模）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=．【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【分析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为，每对向量的夹角为30°，∴每对向量的数量积为cos30°=，∴最后结果为12×=6﹣9，故答案为：6﹣9．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．10．（3分）（2016•衡水模拟）设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域，第8页（共16页）则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．11．（3分）（2015•湖南模拟）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【分析】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，第9页（共16页）∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．12．（3分）（2015秋•上海校级期中）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为4．【考点】圆的切线方程．菁优网版权所有【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，∴=•，整理，得x2+y2+6x﹣11=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，∴（S△PAC）max==4．第10页（共16页）故答案为：4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）（2010•卢湾区二模）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（）A．充分非必要条件B．