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第1页（共19页）2015-2016学年上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．若（1﹣ax）5的展开式中含有x3的系数为﹣80，则实数a=．2．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积为．3．是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的条件．4．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同．从中取出3个球，那么这三个球的颜色不完全一样的概率为．5．关于x的不等式的解集为．6．函数f（x）=cos2x+sinx在区间上的最小值是．7．已知向量=（，1），是不平行于x轴的单位向量，且，则b=．8．数列{an}满足，则=．9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n．②若m⊥α，n∥α，则m⊥n．③若m⊥α，m⊥β，则α∥β．④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中正确的命题序号是．10．如图，将正方形剪去两个底角为15°的等腰三角形CDE和CBF，然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为．第2页（共19页）11．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）在定义域R上有四个单调区间，则实数a，b，c应满足的条件为．12．函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是．13．已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是．14．函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为．二、选择题.（每小题5分，共20分）15．若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（）A．a＞1且b＜1B．a＞1且b＞0C．0＜a＜1且b＞0D．0＜a＜1且b＜016．设{an}是公比为q（q≠1），首项为a的等比数列，Sn是其前n项和，则点（Sn，Sn+1）（）A．一定在直线y=qx﹣a上B．一定在直线y=ax+q上C．一定在直线y=ax﹣q上D．一定在直线y=qx+a上17．在，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．b，a，c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列18．若关于x的不等式x2+ax﹣a﹣2＞0和2x2+2（2a+1）x+4a2+1＞0的解集依次为A和B，那么使得A=R和B=R至少有一个成立的实数a（）A．可以是R中任何一个数B．有有限个C．有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足第3页（共19页）D．不存在三、解答题（共74分）19．（理）设虚数z满足（其中a为实数）．（1）求|z|；（2）若|z﹣2|=2，求a的值．20．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB=60°（1）求A1C与平面ABCD所成的角的大小；（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．21．已知函数的反函数为f﹣1（x）（1）判断f（x）的单调性并证明；（2）解关于x的不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）．22．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量且x1＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c（1）求xn+1与xn的关系式（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求x1，a，b，c所应满足的条件（3）设a=2，c=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，则捕捞强度b的最大允许值是多少？并说明理由．23．已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立（1）判断函数是否属于集合M（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．第4页（共19页）（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．第5页（共19页）2015-2016学年上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．若（1﹣ax）5的展开式中含有x3的系数为﹣80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数等于﹣80，求得实数a的值．【解答】解：（1﹣ax）5的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣a）r•xr，令r=3，可得它的展开式中含有x3的系数为10•（﹣a3）=﹣80，求得实数a=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．2．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=×18，解得r=12．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=288，故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．3．是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的充要条条件．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．第6页（共19页）【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数，则f（﹣x）=f（x），即ln（e﹣x+1）﹣ax=ln（ex+1）+ax，即ln（+1）﹣ln（ex+1）=2ax，即ln（）﹣ln（ex+1）=2ax，即ln（ex+1）﹣lnex﹣ln（ex+1）=2ax，即﹣x=2ax，即2a=﹣1，则，即是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的充要条件，故答案为：充要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键．4．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同．从中取出3个球，那么这三个球的颜色不完全一样的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】集合思想；数学模型法；概率与统计．【分析】由排列组合的知识可得总的取法种数和颜色完全一样的取法种数，由概率公式可得．【解答】解：从5个白球和3个黑球中任取3个共=56种取法，其中三个球的颜色完全一样的有+=11种方法，故所求概率P==，故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解．【解答】解：由，得第7页（共19页），解得x．∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题．6．函数f（x）=cos2x+sinx在区间上的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的求值．【分析】化余弦为正弦，然后令sinx=t换元，利用x的范围求得t的范围，配方后求得函数最小值．【解答】解：f（x）=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1．令sinx=t，∵x∈，∴t=sinx∈[]，则y=，t∈[]，当t=﹣时，．故答案为：．【点评】本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题．7．已知向量=（，1），是不平行于x轴的单位向量，且，则b=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】利用列方程，解出向量的坐标【解答】解；设，则由b是不平行于x轴的单位向量得到①又得到由①②解出x=，y=故答案为（）【点评】本题考查数量积计算和单位向量概念，另外还考查学生的解方程的能力．8．数列{an}满足，则=．【考点】数列的极限．【专题】计算题；极限思想；综合法；等差数列与等比数列．第8页（共19页）【分析】可以判断出数列{an+an+1}是以为首先，为公比的等比数列，从而可以由等比数列的前n项和公式求该数列的前n项和，从而可以得到=，而=，这样便可求出．【解答】解：根据条件，；∴；∴数列{an+an+1}是以为首先，为公比的等比数列；∴====；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的概念及其计算，清楚是本题求解的关键．9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n．②若m⊥α，n∥α，则m⊥n．③若m⊥α，m⊥β，则α∥β．④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中正确的命题序号是②③．第9页（共19页）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n是异面直线；若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，故m⊥l，m⊥n；若m⊥α，m⊥β，则α∥β；m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．【解答】解：m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n是异面直线，故①不正确；若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，∴m⊥l，故m⊥n．故②正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．故④不正确，综上可知②③正确，故答案为：②③．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，包含两条直线和两个平面，这种题目需要认真分析，考虑条件中所给的容易忽略的知识，是一个基础题．10．如图，将正方形剪去两个底角为15°的等腰三角形CDE和CBF，然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】作出正三棱锥的侧面与底面所成的二面角，转化为三角形求解，即可得结论．【解答】解：由题意，作AO⊥平面BEF，垂足为O作BG⊥EF，连接AG，则O在BG上，OG⊥EF，AG⊥EF，∴∠AGO为正三棱锥的侧面与底面所成的二面角．设AB=a，BE=BF=EF=b，则，a=2bcos15°，BG=，OG=，AG=∴cos∠AGO======．故答案为：．第10页（共19页）【点评】本题考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出面面角的平面角是解题的关键，注意三角函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．11．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）在定义域R上有四个单调区间，则实数a，b，c应满足的条件为a，b异号．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的解析式显然得到f（x）为偶函数，从而x≥0时，f（x）有两个单调区间，这样便可得到．【解答】解：f（x）为偶函数，∴x≥0时，f（x）=ax2+bx+c有两个单调区间；∴对称轴x=；∴；∴a，b，c满足的条件为a，b异号．故