2015-2016学年人教B版高中数学课件选修2-2第一章导数及其应用71《定积分在几何中的应用》

1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用内容：应用:1.不必分割的图形面积求解2.需分割的图形面积求解3.利用图形面积求参数()dbaSfxx本课主要学习定积分在几何中的应用。以一段视频引入新课，接着复习定积分的几何意义、微积分基本定理为利用定积分求平面曲边图形的面积做准备。能够应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．求解不规则的平面图形的面积时，在不同的积分区间选择恰当的函数边界，表示曲边图形的面积.在讲述定积分在几何中的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨不必分割的图形面积求解；通过例2和变式2掌握需分割的图形面积的求解方法；通过例2和变式2掌握需分割的图形面积的求解方法。例3和变式3是利用图形面积求参数，有一定的难度.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解定积分在几何中的应用.定积分的几何意义是什么？我们知道定积分()bafxdx的几何意义：如果在区间,ab上函数()fx连续且恒有()0fx，那么定积分()dbafxx表示由直线,,0xaxby和曲线()yfx所围成的曲边图形的.面积xyaby＝f(x)O()dbafxxS即：.()dbafxx问题1:求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积SbadxxfS)()1((2)()d()dbbaaSfxxfxx(2)(1)xyo)(xfyab不必分割的图形面积求解问题2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积Syxoba)(xfy)(xgy(2))(xfy)(xgy(1)总结：当x∈[a，b]有f(x)g(x)时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝.bafxgxdx问题：用定积分表示曲边梯形的面积时，如何确定被积函数？确定积分区间后，被积函数为曲边梯形的上边界函数下边界函数.减去思考2：用定积分求其面积时,被积函数是,积分区间由公共位置确定上边界函数减去下边界函数交点思考1：曲线y2=x与y=x2所围成的图形是什么？例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形的面积.解：两曲线的交点(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx或32130233()xx.31-OABDOABCSSS梯曲形曲梯形11200xdxxdx201yxxxyx及3211300233xx211333.作出y2=x,y=x2的图象如图所示:oxy2yx2yxABCDO例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形的面积.求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象(弄清相对位置关系);2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.解：图象效果如右图所示：223303yxxyxxx由，解得或，因此所求图形的面积为32033232003(23)d133d3292Sxxxxxxxxx变式1：计算由曲线y=x2-2x+3和直线y=x+3所围成的图形的面积.需分割的图形面积求解问题3：已知函数()yfx，()ygx在区间,ab上的图象如图所示，试用定积分表示阴影图形的面积：12()()d()()dcbacSSSgxfxxfxgxx(一)求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象;2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.（二）常见的曲边梯形面积的计算方法：类型一：不必分割的图形面积求解：在公共的区间上，用曲边梯形的上边界函数减去下边界函数构造被积函数，求其定积分即可.类型二：需分割的图形面积求解：当曲边梯形无法一次性用定积分表达出来，需要分割图形后，在不同的区间上选择合适上下边界确定被积函数，进而计算其定积分即可.1()baAfxdx221[()()]baAfxfxdx试用定积分表示下面各平面图形的面积值:()yfxab图1.曲边梯形xyo)(1xfy)(2xfyab图2.如图xyo图4.如图)(1xfy)(2xfyab0xy图3.如图)(xfyab0yx3()baAfxdx421[()()]baAfxfxdx例2计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.2yx4yx484思考1：直线4yx与曲线2yx及x轴所围成的图形是什么？思考2：所围成的图形有什么特点？怎样求出它的面积？思考3：你有几种分割方案？又怎样各自进行表示？2yx4yx484例2计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.两曲线的交点为(0,0),(8,4).24yxyx直线与x轴交点为(4,0)880424()xdxxdxS1S248812044224[()]SSSxdxxdxxdx488044224()()xdxxdxxdx3828204221404323|()|xxx解:作出y=x-4,的图象如图所示:2yx484802124842()sxdx法：38202283|x22401628334201432[()]syydy法：234011426()|yyy2311404444263212xy4xy484变式2：计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy12280222224()SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822022222124332|()|xxxx16642618333212xy4xy4221422[()]Syydy法：234211426()|yyy18例3．如图，直线ykx将抛物线2yxx与x轴所围成的平面图形分成面积相等的两部分，求实数k的值.解：联立2,yxxykx解得01xxk或如图所示，1122300111d236Sxxxxx又11322321001111d12326kkSxxkxxxxkxk由题意可知112SS即3111612k故33141122k.变式3．在曲线)0(2xxy上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为121.试求：切点A的坐标以及切线方程.解：如图由题可设切点坐标为2,)aa（，则对应的切线斜率2ka于是切线方程为22yaaxa，即22yaxa，令0y得切线与x轴的交点坐标为(,0)2a，根据图形及题意可知32222021(2)1212aaaaSxdxxaxadx.1a，所以切点坐标与切线方程分别为(1,1),21Ayx.1.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。yx解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：所以：112212)1()1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx2.计算由直线y＝2－x，和曲线所围成的平面图形的面积.xyO32Dy＝2－x1CAB1－1(一)求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象;2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.（二）常见的曲边梯形面积的计算方法：类型一：不必分割的图形面积求解；类型二：需分割的图形面积求解.(一)必做题：第58页练习第(2)题,第60页习题1.7A组第1(1)题.(二)选做题：第60页习题1.7B组第1、3题.