2015-2016学年北京市西城区普通中学高二下学期6月期末模拟课堂测试数学(理科1)试卷

北京市西城区普通中学2016年6月期末模拟课堂测试高二数学（理科）试卷本试卷共50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1.已知ii1+iab（,,iabR为虚数单位），则ab________.12.曲线cosyx在点1(,)32处切线的斜率为___________.323.曲线2yx与直线yx所围成图形的面积为__________.164.设函数3()fxxaxb的图象为曲线C，直线2ykx与曲线C相切于点(1,0).则k_________；函数()fx的解析式为_______________.2k，3()fxxx5.函数32()fxaxbxcx的图象如图所示，且()fx在0xx与1x处取得极值，给出下列判断：①(1)(1)0ff；②(2)0f；③函数()yfx在区间(,0)上是增函数.其中正确的判断是________.（写出所有正确判断的序号）②③二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6.（本小题满分8分）已知数列{}na中，122a，11(1,2,)2nnnaann.计算234,,aaa的值，根据计算结果，猜想na的通项公式，并用数学归纳法进行证明.7.（本小题满分10分）已知函数()lnfxaxx，aR.（1）讨论()yfx的单调性；（2）若定义在区间D上的函数()ygx对于区间D上的任意两个值1x、2x总有不等式12121[()()]()22xxgxgxg成立，则称函数()ygx为区间D上的“凹函数”.试证明：当1a时，1()()gxfxx为“凹函数”.xyO110x8.（本小题满分12分）已知函数221()(1)xfxx，()e1axgxx（aR，e为自然对数的底数，e2.718）．（1）当[0,3]x时，求函数()fx的值域；（2）若对于任意的0[0,3]x，都存在1[0,3]x，使得10()()gxfx，求a的取值范围．参考答案及评分标准一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分（一题两空的题目每空2分）.1.1;2.32;3.16;4.2k，3()fxxx;5.②③.（注：②③选对一个命题得两分。选出错误的命题即得零分）.二、解答题：本大题共3小题，共26分.（如有其他方法，仿此给分）6.（本小题满分8分）解：根据已知，2343415,,3425aaa，猜测11nnan.………………3分证明：①当1n时，由已知，左边22，右边112112，猜想成立.………………4分②假设当()nkk*N时猜想成立，即11kkak，………………5分那么，1(1)1111122212(1)12kkkkkkkaakkkkkk，………………7分所以，当1nk时，猜想也成立.根据①和②，可知猜想对于任何n*N都成立.………………8分7.（本小题满分10分）解：（1）当0a时，函数()lnfxx在(0,)上是增函数；………………1分由已知，(0,)x，11()axfxaxx，………………3分当0a时，()0fx，函数()fx在(0,)上是增函数；………………4分当0a时，解1()0axfxx得10xa，解()0fx得1xa，所以函数()fx在1(0,)a上是增函数，在1(,)a上是减函数.………………5分综上，当0a时，函数()fx在(0,)上是增函数；当0a时，函数()fx在1(0,)a上是增函数，在1(,)a上是减函数.（2）当1a时，由（1）知()fx在(0,)上的最大值为(1)1f，即()0fx恒成立.所以111()()()lngxfxfxxxxxx，(0,)x.……………6分设12,(0,)xx，计算12121211221212121111[()()](lnln)ln2222xxxxgxgxxxxxxxxxxx，121212122()ln222xxxxxxgxx，因为12122xxxx，所以1212lnln2xxxx，1212lnln2xxxx，………………8分22121212121212121212124()()2022()2()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，所以12121222xxxxxx，…………10分所以12121[()()]()22xxgxgxg，即当1a时，1()()gxfxx为“凹函数”.8.（本小题满分12分）解：（1）由已知，1x，324()(1)xfxx，………………2分在区间(1,2)上，()0fx，函数()fx为增函数，在区间(2,)上，()0fx，函数()fx为减函数，所以，在区间[0,3]上，函数()fx的最大值为1(2)3f，又(0)1f，5(3)16f，所以()fx的最小值为(0)1f.所以()fx在区间[0,3]上的值域为1[1,]3.………………4分（2）设函数()gx在区间[0,3]上的值域为N，根据题意，若对于任意的0[0,3]x，都存在1[0,3]x，使得10()()gxfx，即1[1,]3N.……………5分①当0a时，()1gxx，在区间[0,3]上的值域[1,2]N，符合题意；………………6分由已知()(1)eaxgxax，………………7分②当0a时，在1(,)a上，()0gx，()gx为增函数，在区间[0,3]上的值域[(0),(3)]Ngg，即3[1,3e1]aN，因为33e3a，33e12a所以符合题意；………………8分③当103a时，13a，在1(,)a上，()0gx，()gx为增函数，在区间[0,3]上的值域[(0),(3)]Ngg，即3[1,3e1]aN，因为103a，所以130a，3313e12ea，比较31e与13，即比较e与94，因为e2.718，所以9e4，所以311e3.所以，根据题意，需313e13a，解得22ln33a.所以22ln033a；………………10分④当13a时，103a，在1(,)a上，()0gx，()gx为增函数，在1(,)a上，()0gx，()gx为减函数，在区间[0,3]上的最大值为11()1gaae，以下比较11ae与13，由于103a，所以13111e3ae，不符合题意.………12分综上，实数a的取值范围为22[ln,)33.