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第三章不等式§4简单线性规划巩固篇课时作业预习篇课堂篇提高篇4.1二元一次不等式(组)与平面区域1.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义.2.能用平面区域表示二元一次不等式组，并能利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决简单的实际问题.学习目标重点：画出某个二元一次不等式组所表示的平面区域.难点：理解直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成三个部分的点的坐标所满足的数字特征.重点难点预习篇01新知导学一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足；平面区域ax＋by＋c＝0ax＋by＋c0(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的，即可判断不等式表示的平面区域．ax＋by＋c0正负判断一个二元一次不等式表示的平面区域在对应直线的哪一侧的方法是什么？提示：通常用特殊点法．作出直线Ax＋By＋C＝0，在直线的一侧任取一点P(x0，y0)．若Ax0＋By0＋C0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域．1．画二元一次不等式表示的平面区域的方法．画二元一次不等式表示的平面区域时常采用“直线定界，特殊点定域”的方法：直线定界：若不等式不含等号，把边界直线画成虚线；若不等式含有等号，把边界直线画成实线．特殊点定域：在直线ax＋by＋c＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则不等式表示的区域就是包括这个点的一侧，否则就表示直线的另一侧，特别地，当c≠0时，常把原点作为测试点；当c＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．2．画不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域的方法．只有二元一次不等式对应的区域才是平面区域，上式是含有绝对值的不等式，利用绝对值的定义进行分类讨论，得到二元一次不等式组，从而画出其平面区域．去掉绝对值符号时，应分x≥0和x0及y≥0和y0讨论，通过讨论，原不等式等价于以下四个不等式组x≥0，y≥0，x＋y≤1或x≥0，y0，x－y≤1或x0，y≥0，－x＋y≤1或x0，y0，－x－y≤1其平面区域如下图阴影部分，课堂篇02合作探究【例1】画出下列不等式表示的平面区域．(1)2x＋y－100；(2)y≤－2x＋3.二元一次不等式表示的平面区域【思路探究】对于(1)，先画出直线2x＋y－10＝0(用虚线表示)，再取坐标原点(0,0)代入检验，从而判断出2x＋y－100表示的平面区域．对于(2)，先把y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0的形式，再画出直线2x＋y－3＝0(用实线表示)，取原点(0,0)代入检验，从而判断出2x＋y－3≤0表示的平面区域．【尝试解答】(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点(0,0)，代入2x＋y－10，得2×0＋0－10＝－100，∴2x＋y－100表示的平面区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域，如图(1)阴影部分所示．(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0.先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．取点(0,0)，代入2x＋y－3，得2×0＋0－3＝－30，∴2x＋y－3≤0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0以及其左下方的平面区域，如图(2)阴影部分所示．规律方法画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：①“直线定界”，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；②“特殊点定域”，取某个特殊点x0，y0作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定出所求不等式表示的平面区域.当C≠0时，通常取原点0，0作为测试点.画出下列不等式所表示的平面区域：(1)4x－3y≤12；(2)x≥1；(3)x－2y0；(4)－2x＋y－30.【分析】先画出对应的直线，然后用特殊点(0,0)代入确定平面区域，对于(3)可选(1,0)点代入确定．【解析】上述不等式对应的平面区域如图阴影部分所示．【例2】画出不等式(组)表示的平面区域：(1)x－y＋5≥0，x＋y＋1≥0，2x＋2y＋1x－y＋40.x≤3；二元一次不等式组表示的平面区域【尝试解答】(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．(2)原不等式等价于两个不等式组x＋2y＋10，x－y＋40或x＋2y＋10，x－y＋40.在直角坐标系中画出直线x＋2y＋1＝0与x－y＋4＝0(画成虚线)．取原点(0,0)可以判断：不等式x＋2y＋10表示直线x＋2y＋1＝0的右上方的点的集合，x＋2y＋10表示直线x＋2y＋1＝0的左下方区域，x－y＋40表示直线x－y＋4＝0左上方区域，x－y＋40表示直线x－y＋4＝0右下方区域．所以不等式组表示的平面区域如上图阴影部分所示．规律方法要找不等式组所表示的平面区域关键是精确地画出各不等式所表示的区域，再取它们的公共部分，最后要检查是否包含边界，n个二元一次式的乘积式要等价转化为n个二元一次不等式构成的不等式组.画出不等式组3x－2y＋6≥0x＋y＋1≥04x＋y－40表示的平面区域．【解析】在平面直角坐标系中，画出直线3x－2y＋6＝0(实线)，x＋y＋1＝0(实线)，4x＋y－4＝0(虚线)，它们把坐标平面分为7个区域．依次可得3×0－2×0＋60,0＋0＝10,4×0＋0－40.取原点(0,0)，分别代入3x－2y＋6，x＋y＋1,4x＋y－40.所以原点在三个不等式3x－2y＋6≥0，x＋y＋1≥0,4x＋y－40所表示的平面区域内，故原不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示．【例3】用不等式表示如图所示的阴影区域．【思路探究】首先是应确定边界直线的方程，再根据区域位置，用不等式(组)表示．【尝试解答】(1)由图(1)的各顶点坐标可知，矩形各边所在的直线方程为直线AB∶y＝3，直线BC∶x＝3，直线CD∶y＝－2，直线AD∶x＝－1，所以矩形表示的平面区域(包括边界)的不等式组为x≤3，y≤3，y≥－2，x≥－1.(2)由图(2)可知，直线AB的方程为3x－2y＋3＝0，表示它的右下方区域(包括边界)的不等式为3x－2y＋3≥0；直线AC的方程为3x＋2y－9＝0，表示它的左下方区域(包括边界)的不等式为3x＋2y－9≤0；直线BC的方程为y＝0，表示它上方的区域(包括边界)的不等式为y≥0.所以表示图示阴影部分区域(包括边界)的不等式组为3x－2y＋3≥0，3x＋2y－9≤0，y≥0.规律方法解决类似本题问题，要先对平面区域作出判断，保证每一个不等式的正确性，注意平面区域是否包括边界．如图，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是()A.x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0B.x＋y－1≤0，x－2y＋2≤0C.x＋y－1≥0，x－2y＋2≤0D.x＋y－1≤0，x－2y＋2≥0【答案】A【解析】在区域内任取一点代入检验即可．【例4】画出不等式组x－y＋6≥0x＋y≥0x≤3所表示的平面区域，并求出平面区域的面积．【思路探究】先画出不等式组表示的平面区域，再求其面积．求平面区域的面积【尝试解答】先画出直线x－y＋6＝0(画成实线)，不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0及其右下方的平面区域．画出直线x＋y＝0(画成实线)，不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0及其右上方的平面区域．画出直线x＝3(画成实线)，不等式x≤3表示直线x＝3及其左侧的平面区域．所以原不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示．因此其区域面积即为△ABC的面积．由于直线x－y＋6＝0与直线x＋y＝0垂直，所以△ABC为直角三角形．由x＝3x＋y＝0得B(3，－3)．由x＝3x－y＋6＝0得C(3,9)．由x＋y＝0x－y＋6＝0得A(－3,3)．所以|AB|＝62，|AC|＝62，所以S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12×62×62＝36，所以原不等式组表示的平面区域的面积为36.规律方法解本题时注意到：AB⊥AC，联立方程组解得A，B，C三点的坐标，经计算求得△ABC为等腰直角三角形，从而其面积可求.求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积．【解析】可将两个原不等式转化成如下两个不等式组：①x≥0，y≥x，y≤x＋1，y≤2，或②x0，y≥－x，y≤－x＋1，y≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图阴影所示，它所围成的面积为S＝12×4×2－12×2×1＝3.【例5】已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图阴影部分所示．求范围问题(1)写出表示区域D的不等式组；(2)若点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．【思路探究】由二元一次不等式组所表示的区域写出相应的不等式组，这本身就是一种创新，其求解过程与画出二元一次不等式组的平面区域过程正好互逆．另外，在第(2)问中由B，C两点位于直线4x－3y－a＝0的异侧，可知将B，C两点坐标代入代数式4x－3y－a所得的值符号正好相反．【尝试解答】(1)由A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，得直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，所以表示区域D的不等式组为7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0.(2)将B，C的坐标分别代入4x－3y－a，得4×(－1)－3×(－6)－a＝14－a,4×(－3)－3×2－a＝－18－a.由题意，知(14－a)(－18－a)0，解得a的取值范围是－18a14.规律方法点P1x1，y1，P2x2，y2在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；在异侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号.若点(3,1)和(4，－6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是()A．(－24,7)B．(7,24)C．(－7,24)D．(－24，－7)【答案】D【解析】把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a，得7＋a，24＋a.由题意，知(7＋a)(24＋a)0⇔－24a－7.【例6】要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：二元一次不等式(组)表示实际问题今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求．【思路探究】先由题意抽象出不等式并组成不等式组，再画出二元一次不等式组表示的平面区域即可．【尝试解答】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则2x＋y≥15，x＋2y≥18，x＋3y≥27，x≥0，y≥0.用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分)．规律方法理清题目中的变量及相应的数据是解决此类问题的关键.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆．如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的