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第1页（共17页）2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤02．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4B．5C．6D．74．根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（）x01234y13457A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．27．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）第2页（共17页）A．2B．4C．8D．168．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x=．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为．第3页（共17页）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．18．如图，ABCD为边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°，G，H分别为AB，EC的中点．（1）求证：GH∥平面ADEF；（2）求二面角F﹣BD﹣E的大小．19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．21．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．22．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且，M是线段AB的中点．（1）求证：BC⊥AD1；（2）设N是线段AC上的一个动点，问当的值为多少时，可使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为，并证明你的结论．第4页（共17页）第5页（共17页）2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x2﹣3x+5≤0，故选：A．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线，即x2=2y中，p=1，=，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4B．5C．6D．7【考点】分层抽样方法．【分析】先计算分层抽样的抽样比，再求抽取的B、D两类产品种数之和即可．【解答】解：共有产品100种，抽取容量为20的样本，各抽取=，故抽取的B、D两类产品种数之和为（10+10）×=6．故选：C．4．根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（）x01234第6页（共17页）y13457A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．【解答】解：由表中数据可得：=（0+1+2+3+4）=2，=（1+3+4+5+7）=4，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C．5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．【解答】解：若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选：B6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即有b=2a，c==a，可得e==，故选：A．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）第7页（共17页）A．2B．4C．8D．16【考点】循环结构．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S﹣12n248故S=2时，输出n=8．故选C8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分【考点】轨迹方程．【分析】由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m和n的关系即可．【解答】解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴9﹣n2=4+m2，即m2+n2=5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选：D．第8页（共17页）9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行计算即可．【解答】解：设圆的半径为R，则圆内接等边三角形的边长为R，则正三角形的面积S=×（R）2×=R2，圆的面积S=πR2，则点落在等边三角形内部的概率为P==，故选：B．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】由于=，=﹣，=，即可得出．【解答】解：=，=﹣=﹣，==，∴=﹣++．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM与BN所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，第9页（共17页）建立空间直角坐标系，设直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都为2，则A（0，0，0），M（，，2），B（，1，0），N（，，2），=（），=（﹣，﹣，2），设AM与BN所成角为θ，则cosθ===．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．【解答】解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①第10页（共17页）又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x=4．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质求解．【解答】解：∵空间向量，，∴=﹣2（1﹣x）﹣x﹣2=0，解得x=4．故答案为：4．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于8的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于8的概率．【解答】解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=6×6=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，∴出现朝上的点数之和等于8的概率为p=．故答案为：．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为8．【考点】秦九韶算法．【分析】由f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，即可得出．【解答】解：f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，∴x=2时，v0=1，v1=（2+1）×2=6，v2=6+2=8．故答案为：8．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；第11页（共17页）②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命