因式分解培优题(超全面、详细分类)

第1页共16页因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)，其中n为正整数；(8)an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1yn+4x3n－1yn+2－2xn－1yn+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．第2页共16页例题2分解因式：a3+b3+c3－3abc．例题3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．对应练习题分解因式：2211(1)94nnxxy；(2)x10+x5－2422332223(3)244(4)4xxyxyxyyxy(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x5(5)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1第3页共16页二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：bxbyayax5102对应练习题分解因式：1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：ayaxyx22例题4分解因式：2222cbaba对应练习题分解因式：3、yyxx39224、yzzyx2222第4页共16页综合练习题分解因式：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2())((abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）432234232.aabababb（13）22)()(bxaybyax（14）333333333)(yxxzzyzyxxyz（15）aaxaxx2242（16）axaxx2)2(323（17）)53(4)3()1(33xxx第5页共16页三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式：652xx例题2分解因式：672xx对应练习题分解因式：(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx(4)22xx(5)1522yy(6)24102xx（二）二次项系数不为1的二次三项式——2axbxc条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例题3分解因式：101132xx对应练习题分解因式：（1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy第6页共16页（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：22672yxyx例题6分解因式：2322xyyx对应练习题分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习题分解因式：（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm第7页共16页（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式.条件：（1）21aaA，21ccC，21ffF（2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221即：1a1c1f2a2c2fBcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221则FEyDxCyBxyAx22))((222111fycxafycxa例题7分解因式：（1）2910322yxyxyx（2）613622yxyxyx解：（1）2910322yxyxyx应用双十字相乘法：xy52xy21xyxyxy352，yyy945，xxx2∴原式=)12)(25(yxyx（2）613622yxyxyx应用双十字相乘法：xy23xy32xyxyxy23，yyy1394，xxx32∴原式=)23)(32(yxyx对应练习题分解因式：（1）67222yxyxyx（2）22227376zyzxzyxyx第8页共16页3、十字相乘法进阶例题8分解因式：)122()1)(1(22yyxxyy例题9分解因式：))(()1)(()(222222yxbaxybayxab四、主元法例题分解因式：2910322yxyxyx对应练习题分解因式：(1)613622yxyxyx(2)67222yxyxyx(3)2737622yxyxyx(4)36355622bababa第9页共16页五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：22222)84(3)84(xxxxxx例题3分解因式：9)5)(3)(1)(1(xxxx分析：型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：56)6)(67(22xxxx.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题6分解因式：22224(31)(23)(44)xxxxxx提示:可设2231,23xxAxxB，则244xxAB.例题7分解因式：272836xx例题8分解因式：22244)()()(bababa第10页共16页例题9分解因式：272)3()1(44yy例题9对应练习分解因式：444)4(4aa例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：262234xxxx分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6．例题11对应练习分解因式：144234xxxx第11页共16页对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）)(2122234xxxxx（3）2005)12005(200522xx（4）2)6)(3)(2)(1(xxxxx（5）(1)(3)(5)(7)15xxxx（6）(1)(2)(3)(4)24aaaa（7）2(25)(9)(27)91aaa（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）222222)3(4)5()1(aaa（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）()()()abcabbc2333（12）21(1)(3)2()(1)2xyxyxyxyxy（13）2(2)(2)(1)abababab第12页共16页六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x3－9x+8．例题2分解因式：(1)x9+x6+x3－3；(2)(m2－1)(n2－1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2－1)2+(x－1)4；(4)a3b－ab3+a2+b2+1．对应练习题分解因式：（1）4323xx（2）2223103)(2babaxbax（3）1724xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba（7）x3+3x2－4（8）x4－11x2y2+y2（9）x3+9x2+26x+24（10）x4－12x+323（11）x4＋x2＋1；（12）x3－11x＋20；（13）a5＋a＋1(14)56422yxyx(15)abba4)1)(1(22