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2015-2016学年河南省普通高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2C．2D．43．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．与圆C1：x2+（y+1）2=1及圆C2：x2+（y﹣4）2=4都外切的动圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上5．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．31B．32C．33D．346．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C．D．7．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8C．D．168．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则|PF1|•|PF2|=（）A．b2B．2b2C．2bD．b二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．命题：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是．10．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是．11．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离为2km，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A、B两地的距离大约等于（提供数据：，结果保留两个有效数字）12．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=．13．已知点P（0，1）及抛物线y=x2+2，Q是抛物线上的动点，则|PQ|的最小值为．14．关于双曲线﹣=﹣1，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是；③焦点坐标为（±5，0）；④渐近线方程是y=±x，⑤焦点到渐近线的距离等于3．正确的说法是．（把所有正确的说法序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答要写出证明过程或解题步骤）15．已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．17．广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调机彩电冰箱工时产值/千元432问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（I）求二面角C﹣DE﹣C1的正切值；（II）求直线EC1与FD1所成的余弦值．19．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）证明：．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为，且过点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．2015-2016学年河南省普通高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题．【分析】把选项中的每个点的坐标分别代入3x+2y，看点的坐标是否满足不等式即可【解答】解：将点（0，0）点代入3x+2y＜6，得0＜6，显然成立，点（0，0）在不等式表示的区域内将点（1，1）代入3x+2y＜6，得5＜6，显然成立，点（1，1）在不等式表示的区域内将点（0，2）代入3x+2y＜6，得4＜6，显然成立，点（0，2）在不等式表示的区域内将点（2，0）代入3x+2y＜6，得6=6，点（2，0）不在不等式表示的区域内故选D【点评】本题考查点与不等式表示的区域的位置关系，把点的坐标代入不等式，验证点的坐标是否满足不等式即可，满足时，点在不等式表示的区域内，否则不在．属简单题2．已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2C．2D．4【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】由A，B，C成等差数列A+B+C=π可求B，利用三角形的面积公式S=bcsinA可求．【解答】解：∵△ABC三内角A，B，C成等差数列，∴B=60°又AB=1，BC=4，∴；故选A．【点评】本题主要考查了利用余弦定理及三角形的面积公式解三角形，解题的关键是灵活利用基本公式．3．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R①a=0，则1＞0恒成立②a≠0，则，故0＜a＜1由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．故选B．【点评】本题考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系．值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用．4．与圆C1：x2+（y+1）2=1及圆C2：x2+（y﹣4）2=4都外切的动圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用已知圆的外切性质列出关系式，结合圆锥曲线的定义，求出圆心的轨迹，即可得出答案．【解答】解：由已知得C1的圆心坐标（0．﹣1），r1=1，C2的圆心坐标（0，4），r2=2，设动圆圆心M，半径r，则|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，∴|MC2|﹣|MC1|=1，由双曲线的定义可得：动圆的圆心在双曲线的一支上．故选C．【点评】本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用，考查计算能力．5．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．31B．32C．33D．34【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由已知可得q和a1的值，代入等比数列的求和公式可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则可得a1q•a1q2=2a1，即a4=a1q3=2，又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7=，即2+2×2q3=，解得q=，可得a1=16，故S5==31．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，求出AE，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO，求出OC，然后求解A1O，即可求解A1C．【解答】解：由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°∴，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO中，，在，∴，在故选A．【点评】本题考查几何法求解空间两点的距离，也可以利用空间向量的模求解距离，考查计算能力与逻辑推理能力．7．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8C．D．16【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B．【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．[来源:学科网ZXXK]8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则|PF1|•|PF2|=（）A．b2B．2b2C．2bD．b【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，PF1⊥PF2，知=|PF1|•|PF2|=b2，由此能求出结果．【解答】解：∵F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，∴PF1⊥PF2，∴=|PF1|•|PF2|=b2tan=b2，∴|PF1|•|PF2|=2b2．故选B．【点评】本题考查椭圆的性质的简单应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．命题：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0．【考点】四种命题．【专题】规律型．【分析】根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题．【解答】解：：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0，故答案为若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0．【点评】本题考查四种命题的形式，利用它们的形式写出需要的命题，注意“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，属于基础题．10．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将方程化成椭圆的标准方程，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴将方程化为标准形式，得可得，解之得﹣2＜m＜﹣1且m∴．故答案为：【点评】本题给出含有字母参数m的方程，在方程表示椭圆的情况下求m的范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．11．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离为2km，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A、B两地的距离大约等于1.4km（提供数据：，结果保留两个有效数字）【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】在△ADC中，可求得AC=2，在△BDC中，利用正弦定理可求得BC，最后在△ABC中，利用余弦定理可求得AB．【解答】解：依题意，△ADC为等边三角形，∴AC=2；在△BDC中，CD=2，由正弦定理得：==2，∴BC=；在△ABC中，由余弦定理得AB2=BC2+AC2﹣2BC•ACcos45°=2+4﹣2××2×=2，∴AB=≈1.4km．故答案为：1.4km．【点评】本题考查正弦定