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第1页共20页2015-2016学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}2．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4B．﹣1C．1D．43．已知命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：∃x，使2x＞3x，则下列命题是真命题的是（）A．p∧qB．p∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∨q4．公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20B．0C．7D．405．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]6．已知函数f（x）=sinx﹣2x，且a=f（ln），b=f（log2），c=f（20.3），则（）A．c＞a＞bB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）第2页共20页A．B．C．D．8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体有如下描述，其中错误的叙述的是（）A．AB与DE所成角的正切值是B．三棱锥B﹣ACE的体积是C．直线BA与平面ADE所成角的正弦值为D．平面EAB⊥平面ADE12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（，﹣2），（，2），且在区间（，）上为单调函数，设an=nf（）（n∈N），则数列{an}的前30项和S30为（）A．﹣10B．﹣C．D．10二、填空题（每题5分）13．若实数x，y满足，则z=x+2y的取值范围是．14．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于．第3页共20页15．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一动点，（不含端点），若=，则=．16．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题17．如图所示，角A为钝角，且sinA=，点P、Q分别在角A的两边上．（1）AP=5，PQ=3，求AQ的长；（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=，求sin（2α+β）的值．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；（Ⅱ）求PM与平面AHB所成角的正弦值．19．某统计局为了调查居民支出状况，随机调查该市10户家庭的三类支出：食品消费类支出，衣着消费类支出、居住消费类支出，每类支出都分为A、B、C三个等级，现在对三种等级进行量化：A级记为2分；B级记为1分；C级记为0分，用（x，y，z）表示该家庭的食品消费类支出、衣着消费类支出、居住消费类支出的得分情况，再用综合指标ω=x+y+z的值评定该家庭的得分等级：若ω≥4，则得分等级为一级；若2≤ω≤3，则得分等级为二级；若0≤ω≤1，则得分等级为三级，得到如下结果：家庭编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，0，1）（1，2，1）（1，2，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，2，1）（1，1，1）（1）在这10户家庭中任取两户，求这两户家庭居住消费类支出得分相同的概率；第4页共20页（2）从得分等级是一级的家庭中任取一户，其综合指标为a，从得分等级不是一级的家庭中任取一户，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求X的分布列及数学期望．20．设圆x2+y2﹣2x﹣15=0的圆心为F1，直线l过点F2（﹣1，0）且交圆F1于P，Q两点，线段PF2的垂直平分线交线段PF1于M点．（1）证明|MF1|+|MF2|为定值，并写出点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为T，T与x轴交点为A，B，直线l与T交于C，D两点，记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+1（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）存在实数m使得f（x）=m的两个零点α、β都属于区间[1，4]，且β﹣α=1，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]|22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4坐标系与参数方程]|23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．[选修4-5不等式选讲]|24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．第5页共20页2015-2016学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，∴∁UA={2，5}，∵B={2，4}，∴（∁UA）∪B={2，4，5}．故选：A．2．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：D．3．已知命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：∃x，使2x＞3x，则下列命题是真命题的是（）A．p∧qB．p∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∨q【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为π，故命题p是假命题；命题q：∃x，使2x＞3x，故命题q是真命题，故p∨q是真命题，故选：D．4．公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20B．0C．7D．40第6页共20页【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】利用﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，确定数列的公比，从而可求S4．【解答】解：设数列的公比为q（q≠1），则∵﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，∴﹣3a1+a3=﹣2a2，∵a1=1，∴﹣3+q2+2q=0，∵q≠1，∴q=﹣3∴S4=1﹣3+9﹣27=﹣20故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]，若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]，输出y∈[0，2]，故选：A．6．已知函数f（x）=sinx﹣2x，且a=f（ln），b=f（log2），c=f（20.3），则（）A．c＞a＞bB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的单调性，根据20.3＞ln＞log2，从而求出函数值的大小即可．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣2x，∴f′（x）=cosx﹣2＜0，∴f（x）在R单调递减，第7页共20页∵0＜ln＜1，log2＜0，20.3＞1，20.3＞ln＞log2，∴c＜a＜b，故选：D．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．第8页共20页8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．9．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），第9页共20页则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故选：A．10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两