2076字定积分中的几何证明方法与证明

定积分中的几何直观方法与不等式的证明摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p与1p进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列1引言文[1]中给出了一个不等式：112(11)21ninni（1n）（1）田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是命题1【2】设pR且0p，1p，1n，则有1111111[(1)1]1111npppknnpkpp（2）文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p与1p进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文[3]中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：命题1的证明【4】当0p，1k时，对于1kxk，有(1)pppkxk，即111(1)pppkxk，两边取积分，得111111(1)kkkpppkkkdxdxdxkxk，（3）即得11111[(1)](1)1ppppkkkpk（4）对（3）两边分别求和，即得1111111[(1)1]1111npppknnpkpp（5）命题1得证。该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以1pyx为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。（图1）在文[5]中，又把（1）式推广为：命题2【５】已知na为等差数列且10a，公差0d，则11111221()()nniniaaaaadda（6）其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。２主要结果下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为定理1设na为等差数列且10a，公差0d，0p，1p，1n，则1111111111111()()(1)(1)nppppnnppiiaaaadpadpa（7）为证明定理1，先证明下面的引理引理1设na为等差数列且10a，公差0d，0p，1p，1n，则1111111()(1)ppkkppkkaaadpa（8）证明因为数列na是等差数列，且10,0ad，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为0p，不妨令1kkaxa，则有pkppkaxa1即pkppkaxa1111（9）对（9）两端在1[,]kkaa上取积分，有1111111kkkkkkaaapppaaakkdxdxdxaxa（10）即1111111()1ppkkppkkdaadapa（11）由（11），即得1111111()(1)ppkkppkkaaadpa定理1的证明由引理1可得111111()(1)ppkkpkaaadp（12）对（12）式的两边同时求和，得1111111111()(1)nnppkkpkkkaaadp即111111111()(1)nppnppkkaaaadp故有111111111()(1)nppnppkkaaadpa同理，由11111()(1)ppkkpkaadpa（13）对式（13）的两边同时求和，可得到1111111()(1)nppnpiiaadpa故定理1得证。引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。（图2）如果注意到函数1()pfxx（0p）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质：性质1任意两点间的弧段总在这两点连线的上方；性质2曲线总在它的任一切线的上方。那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到定理2设na为等差数列且10a，公差0d，0p，1p，1n，则1111111111111()()2(1)2pppkkkppppkkkkdaaaapdpaaa（14）证明因为1()pfxx（0p）是下凸函数，由上述两条性质，得11111()()()'()()()()()kkkkkkkkkfafafafaxafxfaxaaa即得111111111111()()pppkkkkkpppkkkkaaaxaxaapxaaa（15）对（15）两端在1[,]kkaa上积分，得（14）成立。定理2证明的几何意义，可参考下面图3。（图3）推论1当0p，1k时，有111111111(1)[(1)][](1)(1)2(1)pppppppkkkkpkkk该结果显然比（4）式更为精细。３应用例子例1【１】试求1111231000,000x的整数部分[]x．解由（1）式，得1999210000012x于是可以判断19981999x，故[]1998x。例2【１】试求[50]x的值，式中11110,00010,0011,000,000x．解由命题1，可得18001800.02x所以[50]9000x。例3设3331111232010x，求不超过x的最大整数[]x．解对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，201011pkxk（31p），令数列na的通项公式为nan，31p，2010n，由定理1，可得11113311(20111)201011111133x即4.2384.237x所以238x。例4设3333222211112729312003s，求s的近似值（绝对误差不超过0.06）．解记数列na是以271a为首项，公差2d的等差数列，那99411pkksa，这里23p，由定理1，得22221111333323111(200527)(200327)222(1)2(1)2733s即14.512s14.454由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.0580.06，故s可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。4其它应用在文[6]中，作者给出了二次根式的一个不等式：命题3【６】设0,,0yxp,则yxppypxp（16）当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？考虑函数txf21)(与yttg21)(，xptp，则由tftg，得xppxppdttfdttg即pxpypyxp（17）由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积（如图4）（图4）事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式xxxx)1ln(1（0x）（18）就可以利用xxxdtdttdtt000211111（19）来认识其几何意义。由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。下面例子选自《高等数学附册·学习辅导与习题选解》一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。命题4【7】设0p，证明10111ppdxpx（20）文献[7]关于不等式（20）的证明思路是：1011111ppxdxpp111000(1)1111pppppdxxxdxdxxxx而1pppxxx，故有11001pppxdxxdxx，因此1100111pppxxdxdxx由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。另证因为1()1fxx（[0,1]x）是下凸函数，函数()fx在(0,1)点的切线方程为1yx，根据下凸函数的几何性质，有1111xx（21）当[0,1]x，0p时，有[0,1]px，将（21）中的x换成px，得1111ppxx（22）再对（22）两端在[0,1]上积分，立得结论成立。下面改进不等式（20）两端的常数，将得到如下更加精细的结果：推论2设0p，则103211max[,]114(1)12(1)pppdxppxp证明考虑函数()fx在1(1,)2点的切线方程为3144yx，而函数的两个端点(0,1)、1(1,)2的连线方程为112yx，根据下凸函数的几何性质，有311114412xxx（23）将（23）中的x换成px，得311114412pppxxx（24）再对（24）两端在[0,1]上积分，得10321114(1)12(1)ppdxpxp再结合命题4所证，故得103211max[,]114(1)12(1)pppdxppxp。参考文献：[1]徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京:高等教育出版社,1984[2]田寅生.一个不等式的指数推广及应用[J].中学数学月刊，2003（9）[3]刘玉琏等.数学分析讲义练习题选解(第一版)[M].北京:高等教育出版社,1996[4]胡付高.一个不等式的简证及其几何直观[J].中学数学,2004（2）[5]田寅生.一个不等式的推广、加强及应用[J].数学通报,2004（2）[6]赵思林.关于二次根式的一个不等式及应用[J].中学数学,2007（9）[7]同济大学应用数学系.高等数学附册,学习辅导与习题选解[M].北京:高等教育出版社,1983