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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第三章直线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2直线与方程第三章第三章直线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修23.2直线的方程第三章3.2.1直线的点斜式方程第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2高效课堂2课后强化作业4优效预习1当堂检测3第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2优效预习第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修21．前面我们学习了直线的斜率、倾斜角及求直线斜率的方法．(1)斜率：当直线l的倾斜角α不等于90°时，α的__________值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母__________表示．●知识衔接正切k第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)斜率公式：①k＝__________(α≠90°)；②k＝______________，其中P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的两点．(3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有唯一的倾斜角，但不一定有__________(倾斜角为90°时无斜率)．(4)斜率的意义：斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程度．tanαy2－y1x2－x1(x1≠x2)斜率第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修22．确定直线的几何要素：直线上的一点和直线的__________角或直线上不同的__________点．3．一次函数及其图象：函数y＝kx＋b(k≠0)称为一次函数，其图象是__________，该直线斜率为k，与y轴的交点为__________．倾斜两一条直线(0，b)第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修21．直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程___________________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．●自主预习y－y0＝k(x－x0)第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或__________.[破疑点]一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．x＝x0第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修22．直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__________．倾斜角是__________的直线没有斜截式方程．y＝kx＋b截距90°第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[破疑点]值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．[拓展]1.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修22．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，即过点(0，b)．联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0，y0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的，同一条直线的斜截式方程是唯一的．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修21．直线l的点斜率方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是()A．2B．－1C．3D．－3[答案]B●预习自测第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修22．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是________，在x轴上的截距是________.[答案]－2332[解析]斜率是－2；在y轴上的截距是3；令y＝0得x＝32，即在x轴上的截距是32.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修23．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角为45°.[解析](1)y－5＝4(x－2)．y＝4x－3.(2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2.y＝x＋1.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2高效课堂第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(1)一条直线经过点P1(－2,3)，斜率为2，则这条直线的方程为________.(2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为________.(3)求经过点(2,5)，且倾斜角为45°的直线方程为________.[探究](1)写直线的点斜式方程的两个前提条件是什么？(2)垂直于y轴的直线的斜率存在吗？(3)一条直线的倾斜角与其斜率有何对应关系？直线的点斜式方程●互动探究第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析](1)由直线的点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.(2)直线垂直于y轴，故其斜率为0，所以此直线方程为y＝1.(3)因为倾斜角为45°，所以直线斜率为tan45°＝1，由点斜式方程得y－5＝x－2，即y＝x＋3.[答案](1)2x－y＋7＝0(2)y＝1(3)y＝x＋3第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：求直线的点斜式方程的步骤：①确定定点坐标；②求出直线的斜率；③代入公式，写出方程．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？(1)经过点A(－2,5)，斜率是3；(2)经过点B(2，－3)，倾斜角是135°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析](1)y－5＝3(x＋2)；(2)k＝tan135°＝－1∴y＋3＝－(x－2)；(3)y＝－1；(4)x＝1.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在．②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条直线上任意一点的横坐标都是1.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.直线的斜截式方程[解析](1)y＝3x－3；(2)∵k＝tan60°＝3；∴y＝3x＋5；(3)∵k＝tan150°＝－33；∴y＝－33x.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：对直线的斜截式方程的透析：(1)斜截式是点斜式的一个特例，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示；(2)斜截式方程与一次函数的关系当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，一次函数表示直线，但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式．特别提醒：应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率不存在时，不能表示成斜截式方程．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2写出满足下列条件的直线的方程．(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，________；(2)倾斜角30°，在y轴上截距为3，________.[答案](1)5x－y－1＝0(2)x－3y＋3＝0[解析](1)方程为y＝5x－1，即5x－y－1＝0.(2)方程为y＝xtan30°＋3，即x－3y＋3＝0.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(1)当a为何值是，直线l1：y＝(a＋3)x－2a与直线l2：y＝(a2－a)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l2：y＝(2a－1)＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？利用平行与垂直的条件求参数的值●探索延拓[探究]直线截距式方程→平行、垂直的判断方法→参数范围第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析](1)由题可知，kl1＝a＋3，kl2＝a2－a.∵l1∥l2，∴a＋3＝a2－a－2a≠2，①解得a＝3.故当a＝3时，直线l1：y＝(a＋3)x－2a与直线l2：y＝(a2－a)x＋2平行．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4.∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝38.故当a＝38时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．[注释]①求解两直线l1，l2平行的问题时，除了要求k1＝k2，还应有b1≠b2，否则重合的两条直线也有可能符合条件．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：两条直线平行和垂直的判定已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.(2)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程为________.[答案](1)－1(2)2x－y－1＝0[解析](1)由两直线垂直可得a(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0，所以a＝－1；(2)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.第三章3.23.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？[错解]由题意，得a2－2＝－1，∴a＝±1.[错因分析]该解