2015-2016学年高中数学(人教A版)必修二课件423直线与圆的方程的应用

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第四章圆的方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2圆的方程第四章第四章圆的方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修24.2直线、圆的位置关系第四章4.2.3直线与圆的方程的应用第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2高效课堂2课后强化作业4优效预习1当堂检测3第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2优效预习第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2解决实际问题的基本步骤如下：(1)阅读理解，认真审题．做题时，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握新信息．在此基础上，分析出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关系．审题时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问题的转化．●知识衔接第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)引进数学符号，建立数学模型．根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即建立数学模型．如果题目已经告知曲线是圆，则需要建立适当的直角坐标系，设出圆的方程，为求解方程或计算作准备．(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果．(4)翻译成具体问题．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的步骤：第一步：建立适当的________________，用__________和__________表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为__________问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“_________”成几何结论．这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为“一建二算三译”．平面直角坐标系坐标方程代数翻译●自主预习第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修21．某洞口的横截面是半径为5cm的半圆，则该半圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随着建立的直角坐标系的变化而变化[答案]D●预习自测第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修22．证明在圆中直径所对的圆周角为直角．[证明]以圆心为原点直径AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设圆的半径为r.则圆的方程为x2＋y2＝r2.A(－r,0)，B(r,0)．设P是圆上不同于A、B的任一点，其坐标为(x0，y0)．则x20＋y20＝r2.∴kPA·kPB＝y0－0x0＋r·y0x0－r＝y20x20－r2＝r2－x20x20－r2＝－1.∴PA⊥PB，∴∠APB＝90°，故在圆中，直径所对的圆周角等于90°.第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2高效课堂第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如图所示，有一块五边形的铁皮ABCDE，|CD|＝100cm，|BC|＝80cm，|AB|＝70cm，|DE|＝60cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边分别落在BC和CD上．问怎样截才能使矩形的面积最大？直线方程的应用●互动探究第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]分别以AB，DE所在的直线为x轴、y轴建立坐标系，以1cm为1个单位长度(如图所示)．则各点坐标为A(30,0)，B(100,0)，C(100,80)，D(0,80)，E(0,20)，线段AE的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2设线段AE上一点P(m，n)(0≤m≤30)，则有m30＋n20＝1.设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)·(80－n)．∵m30＋n20＝1，∴n＝20(1－m30)．∴S＝(100－m)·[80－20(1－m30)]＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2故当m＝5时S有最大值，这时|EP||PA|＝15.答：使矩形的一个顶点P在AE上，且|EP||PA|＝15时，沿PQ，PR剪开，可使截得的矩形铁皮面积最大．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：(1)借助坐标系、点的坐标、直线的方程等解析工具解决实际问题．(2)在求S＝(100－m)·(80－n)的最大值时，使用了“减少变量法”，因为在该式中有m，n两个变量，但m，n满足关系式m30＋n20＝1，从而得n＝20(1－m30)，代入S＝(100－m)·(80－n)后可减少一个变量n，使该式变为一个二元二次函数，再用配方法即可求其最值．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不必变方位)进行开发．问如何设计才能使开发面积最大？并求出最大面积．[分析]建立坐标系求解．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]以BC为x轴，AE为y轴建立直角坐标系xOy.如图，则A(0,60)，B(90,0)．AB所在的直线方程为x90＋y60＝1，即y＝60－23x，∴P(x,60－23x)．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2开发面积为S＝(300－x)(240－y)＝(300－x)[240－(60－23x)]，∴S＝－23x2＋20x＋54000(0＜x＜90)．当x＝－202×－23＝15且y＝50时，S取最大值为54150m2.[点评]这是一道用地规划问题，具有很强的应用价值与现实意义，将问题化归为在线段AB上找一点，使长方形面积最大的数学问题，这里求线段AB所在直线方程、设点P坐标是解题的切入点．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如图所示，一座拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？圆的方程的应用第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝51.∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：(1)应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，可取得简便、精确的效果，因此，解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．(2)解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体味．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造时每隔4m需用一个支柱，求支柱CD的长度．(精确到0.01m)[分析]先求出圆的标准方程，再求C点的纵坐标即可．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]建立如图所示的直角坐标系则圆心在y轴上，设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面用待定系数法求b和r的值．因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是圆的方程的解．于是得到方程组02＋4－b2＝r2，102＋0－b2＝r2，解得b＝－10.5，r2＝14.52.所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把点C的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，于是y＝14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如下图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F.求证：EF平分CD．[探究]建立平面直角坐标系，由圆O和圆C的方程得公共弦EF的方程，转化为证明CD的中点在直线EF上即可．用坐标法证明几何问题第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[证明]以AB所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如右图所示，则圆O的方程为x2＋y2＝1.①设圆C的圆心为C(x1，y1)，则可得圆C的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21，即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0.②第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2①－②，得2x1x＋2y1y－1－x21＝0.③③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H，其坐标为(x1，y12)，将H代入③式，得2x21＋2y1·y12－1－x21＝2x21＋y21－1－x21＝x21＋y21－1＝0，即CD的中点H在EF上，∴EF平分CD．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；②充分利用图形的对称性；③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称；④关键点的坐标易于求得．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于该边所对边长的一半．[分析]如图所示，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，本题关键是求出圆心O′的坐标，过O′作AC的垂线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与O′的横坐标一致，同理可求O′的纵坐标．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[证明]如图所示，分别以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(0，d)，过四边形外接圆的圆心O′分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2由线段的中点坐标公式，得xO′＝xM＝a＋c2，yO′＝yN＝b＋d2，xE＝a2，yE＝d2.|O′E|＝a＋c2－a22＋b＋d2－d22＝c2＋b22，|BC|＝0－c2＋b－02＝c2＋b2＝2|O′E|，同理可证其它边．第四章4.24.2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2代数式的几何意义与数形结合法●探索延拓若实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值为()A．12B