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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2点、直线、平面之间的位置关系第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2章末归纳总结第二章第二章点、直线、平面之间的位置关系成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题突破2知识结构1第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2知识结构第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题突破第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题一空间中的位置关系1．空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面．2．空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．3．两个平面的位置关系：平行、相交．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2下面四个命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0B．1C．2D．3[答案]A第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]序号正误原因分析①×如右图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥DC，AB却在过DC的平面ABCD内，①不正确②×如上图，AB∥平面A′B′C′D′，B′C′⊂平面A′B′C′D′，AB与B′C′异面，②不正确第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2序号正误原因分析③×如上图，AB∥平面CDD′C′，BB′∥平面CDD′C′，AB∩BB′＝B，即AB与BB′不平行，③不正确④×如上图，设直线l是平面ABB′A′内与AB平行的任一条直线，l有无数条，即AB与平面ABB′A′内的无数条直线平行，但AB⊂平面ABB′A′，④不正确第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：长方体中体现了空间中的线线、线面关系，图中观察可以找到本题中四个命题的许多反例．解决这类题常常将空间点、线、面的关系放置于长方体中考虑．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题二线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明在这一章中，我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理，这些定理之间并不是彼此孤立的，线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化．做题时要充分运用它们之间的联系，挖掘题目提供的有效信息，综合运用所学知识解决此类问题．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2013·辽宁)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[证明](1)∵PA⊥圆O所在的平面，∴PA⊥BC．∵AB是圆O的直径，C是圆O上的点，∴BC⊥AC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)连结OG并延长交AC于点M，连结QM.由重心的性质可得M为AC的中点，则OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．∴平面OQM∥平面PBC．又∵QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题三空间角的计算空间中的角包括异面直线所成的角，直线和平面所成的角和二面角，如何准确找出或作出空间角的平面角，是解答有关空间角问题的关键，空间角的题目一般都是多种知识的交汇点，因此它也是高考常考查的内容之一．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如右图，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，动点D在斜边AB上．(1)求证：平面COD⊥平面AOB；(2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[分析](1)在一个面内找到一条线垂直于另一个面即可．(2)可取OB中点E，从而构造三角形CDE.(3)确定CD在面AOB内的射影即可．[解析](1)证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角，又∵二面角B－AO－C是直二面角．∴CO⊥BO.又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB．又CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)解：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE(如右图)，则DE∥AO.∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．在Rt△OCB中，CO＝BO＝2，OE＝12BO＝1，∴CE＝CO2＋OE2＝5.第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2又DE＝12AO＝3，∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝CEDE＝53＝153.即异面直线AO与CD所成的角的正切值是153.第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(3)解：由(1)知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且tan∠CDO＝OCOD＝2OD.∴当OD最小时，tan∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，OD＝OA·OBAB＝3，tan∠CDO＝233，即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是233.第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2015·湖北卷)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(Ⅰ)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(Ⅱ)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析](Ⅰ)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.又DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(Ⅱ)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线．由(Ⅰ)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD＝DC＝1，BC＝λ，有BD＝1＋λ2，第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF＝∠FDB＝π3，则tanπ3＝tan∠DPF＝BDPD＝1＋λ2＝3，解得λ＝2.所以DCBC＝1λ＝22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3时，DCBC＝22.[答案](Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)22.第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2思想1转化思想1．通过添加辅助线或辅助面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想．2．线线、线面、面面的位置关系，通过转化思想建立联系，从而揭示本质．3．点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化．例如，求点面距时，可沿平行线平移，找到一个合适的点再来求点面距离，这就体现了它们之间的相互转化．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.求证：BD⊥平面AEF.[分析]要证BD⊥平面AEF，已知BD⊥AE，可证BD⊥EF或AF；由已知条件可知BC⊥平面ADC，从而BC⊥AF，故关键环节就是证AF⊥平面BDC，由AF⊥DC即可获证．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[证明]∵AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∴BC⊥AC，DA⊥平面ABCBC⊂平面ABC⇒DA⊥BCBC⊥ACAC∩DA＝A第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2⇒BC⊥平面DACAF⊂平面DAC⇒BC⊥AFAF⊥DCBC∩DC＝C⇒AF⊥平面DCBBD⊂平面DCB⇒BD⊥AFBD⊥AEAF∩AE＝A⇒BD⊥平面AEF.第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证线线垂直又转化为证线面垂直，本题就是通过多次转化而获得证明的，这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其转化关系．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2如右图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小．[探究]本题(1)(2)考查线面关系，应充分考虑平行、垂直的判定定理与性质定理以及转化思想的运用；(3)考查空间角的求解，利用定义找出二面角的平面角是解决问题的关键所在．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析](1)证明：如图所示，连接AC，BD，AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，∵EO是中位线，∴PA∥EO.又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC．∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．∴BC⊥平面PDC．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，而DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．第二章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(3)解：由(2)知PB⊥DF，故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角，由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，B