2015-2016学年高中数学111第2课时集合的表示学案新人教A版必修1

1第2课时集合的表示[学习目标]1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[知识链接]1．质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数．2．函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．[预习导引]1．列举法表示集合把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法表示集合(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．解决学生疑难点要点一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．2规律方法对于元素个数较少的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复．跟踪演练1用列举法表示下列集合：(1)我国现有的所有直辖市；(2)绝对值小于3的整数集合；(3)一次函数y＝x－1与y＝－23x＋43的图象交点组成的集合．解(1){北京，上海，天津，重庆}；(2){－2，－1,0,1,2}；(3)方程组y＝x－1，y＝－23x＋43的解是x＝75，y＝25，所求集合为75，25.要点二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．规律方法用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一．跟踪演练2用描述法表示下列集合：(1)所有被5整除的数；(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；(3)集合{－2，－1,0,1,2}．解(1){x|x＝5n，n∈Z}．(2){x|6x2－5x＋1＝0}．3(3){x∈Z||x|≤2}．要点三列举法与描述法的综合运用例3集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．规律方法1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解．(2)因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．2．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．跟踪演练3把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合．解由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根．∴k≠0，Δ＝64－64k＞0，解得k＜1，且k≠0.所以k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}．1．集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}答案B解析{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}．2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈AB．0∈AC.3∈AD．2∈A答案B解析∵0∈N且－3≤0≤3，∴0∈A.43．用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________．答案{x|x＜－32}解析∵x＜－x－3，∴x＜－32.∴解集为{x|x＜－32}．4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．答案{1}解析由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.又x∈N，∴x＝1.5．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；(3)不等式x－2＞6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．解(1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；(2){x|x＝2n＋1，且x＜1000，n∈N}；(3){x|x＞8}；(4){1,2,3,4,5,6}．1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．5一、基础达标1．下列关系式中，正确的是()A．{2,3}≠{3,2}B．{(a，b)}＝{(b，a)}C．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}D．{y|y＝x2＋1}＝{x|y＝x＋1}答案C解析A中{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；B中集合中的点不同，故集合不同；C中{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}＝R；D中{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}≠{x|y＝x＋1}＝R.故选C.2．方程组x＋y＝2，x－2y＝－1的解集是()A．{x＝1，y＝1}B．{1}C．{(1,1)}D．(1,1)答案C解析方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.3．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集答案D解析因xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限．4．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B答案C解析集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．5．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．答案{(2,4)，(5,2)，(8,0)}6解析∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5，∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.6．有下面四个结论：①0与{0}表示同一个集合；②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．答案④解析{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．7．下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解(1)在A、B、C三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A的代表元素是x，满足y＝x2＋1，故A＝{x|y＝x2＋1}＝R.集合B的代表元素是y，满足y＝x2＋1的y≥1，故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C的代表元素是(x，y)，满足条件y＝x2＋1，即表示满足y＝x2＋1的实数对(x，y)；也可认为满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点．因此，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}＝{(x，y)|点(x，y)是抛物线y＝x2＋1上的点}．二、能力提升8．已知x，y为非零实数，则集合M＝m|m＝x|x|＋y|y|＋xy|xy|为()A．{0,3}B．{1,3}C．{－1,3}D．{1，－3}答案C解析当x＞0，y＞0时，m＝3，7当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1.若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．9．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10答案D解析∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.10．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．答案{(x，y)|－1≤x≤3，且0≤y≤3}解析图中阴影部分点的横坐标－1≤x≤3，纵坐标为0≤y≤3，故用描述法可表示为x，y－1≤x≤30≤y≤3.11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.解∵1是集合A中的一个元素，∴1是关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，∴a·12＋2·1＋1＝0，即a＝－3.方程即为－3x2＋2x＋1＝0，解这个方程，得x1＝1，x2＝－13，∴集合A＝{－13，1}．三、探究与创新12．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2014＋b2014.解方法一∵A＝B，∴a2＝1，ab＝b或a2＝b，ab＝1.8解方程组得a＝－1，b＝0或a＝1，b＝1，或a＝1，b为任意实数．由集合元素的互异性得a≠1，∴a＝－1，b＝0，故a2014＋b2014＝1.方法二由A＝B，可得1·a·b＝a·a2·ab，1＋a＋b＝a＋a2＋ab，即aba3－＝0，①a－a＋b＋＝0.②因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1.解方程组得，a＝－1，b＝0.故a2014＋b2014＝1.13．设集合B＝x∈N62＋x∈N.(1)试判断元素1和2与集合B的关系．(2)用列举法表示集合B.解(1)当x＝1时，62＋1＝2∈N；当x＝2时，62＋2＝32∉N，所以1∈B,2∉B.(2)令x＝0,1,4代入62＋x