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11.4算法案例基础巩固1．高二年级两个班的学生一起排队出操，如果9人排一行，多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人．已知每个班人数不超过50，这两个班共有________人．解析：如果将两个班的人数减少1人，则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余，所以两班人数减1是9和10的公倍数，又因为每个班人数不超过50，可以求出9和10的最小公倍数，然后再加上1.所以，这两个班共有9×10＋1＝91(人)．答案：912．把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个．这堆苹果至少有________个．解析：依题意知，这堆苹果总个数添进1个苹果后，正好是9，8，4的倍数．因为9，8，4的最小公倍数是9×8＝72，所以这堆苹果至少有9×8－1＝71(个)．答案：713．294和84的最大公约数为________．解析：294＝84×3＋42，84＝42×2＋0.答案：424．两个整数490和910的最小公倍数是________．2解析：910＝490×1＋420，490＝420×1＋70，420＝70×6＋0.∴490与910的最大公约数是70.∴490与910的最小公倍数是：(490×910)÷70＝6370.答案：63705．求方程x3－2x＝0的近似解，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，最好应放在________之间．答案：1和26．用辗转相除法和更相减损术求80和36的最大公约数．解析：用辗转相除法：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0.故80和36的最大公约数是4.用更相减损术：80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝2020－8＝12，12－8＝4，8－4＝4.∴80和36的最大公约数是4.7．写出用二分法求方程x3－2x－3＝0在区间[1，2]内的一个近似根(误差不超过0.001)的一个算法伪代码．3解析：算法伪代码如下：a←1b←2c←0.001Dox0←a＋b2f(a)←a3－2a－3f(x0)←x03－2x0－3Iff(x0)＝0ThenExitDoIff(a)f(x0)0Thenb←x0Elsea←x0EndIfUntil|a－b|cEndDoPrintx0能力升级8．现有长度为2.4m和5.6m两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计，才能保证正方体体积最大，且不浪费材料？4解析：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条，为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数，要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数．用欧几里得辗转相除法求得2.4和5.6的最大公约数：5.6＝2.4×2＋0.8，2.4＝0.8×3＋0，即2.4和5.6的最大公约数为0.8.因此将正方体的棱长设为0.8m时，体积最大且不浪费材料．9．(2014·武汉调考)分别用辗转相除法和更相减损术求(1)98和63；(2)8251和6105的最大公约数，从中你有什么发现？解析：辗转相除法是做两个数的带余除法，更相减损术是做两个数的减法．(1)用辗转相除法：S198＝63×1＋35，S263＝35×1＋28，S335＝28×1＋7，S428＝4×7.∴98和63的最大公约数是7.用更相减损术：S198－63＝35，S263－35＝28，S335－28＝7，S428－7＝21，S521－7＝14，S614－7＝7，∴98和63的最大公约数为7.(2)用辗转相除法：S18251＝6105×1＋2146，5S26105＝2146×2＋1813，S32146＝1813×1＋333，S41813＝333×5＋148，S5333＝148×2＋37，S6148＝37×4.∴8251和6105的最大公约数为37.用更相减损术：S18251－6105＝2146，S26105－2146＝3959，S33959－2146＝1813，S42146－1813＝333，S51813－333＝1480，S61480－333＝1147，S71147－333＝814，S8814－333＝481，S9481－333＝148，S10333－148＝185，S11185－148＝37，S12148－37＝111，S13111－37＝74，S1474－37＝37，∴8251和6105的最大公约数为37.发现：辗转相除法和更相减损术在本质上是一致的，但在实际操作中，用辗转相除法比用更相减损术的计算步骤要少，但计算量相对较大，因而二者各有千秋．10．用辗转相除法或更相减损术求三个数135，243，324的最大公约数．解析：方法一(辗转相除法)：∵324＝243×1＋81，243＝81×3＋0，∴324与243的最6大公约数为81.又∵135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，∴81与135的最大公约数为27.∴三个数135，243，324的最大公约数为27.方法二(更相减损术)：∵324－243＝81，243－81＝162，162－81＝81；135－81＝54，81－54＝27，54－27＝27.∴三个数135，243，324的最大公约数为27.11．有甲、乙、丙三种溶液，分别重416kg、334kg、229kg.现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同．问每瓶最多装多少？解析：416＝256＝15036；334＝154＝13536；229＝209＝8036；15036－13536＝1536；13536－1536＝12036；12036－1536＝10536；10536－1536＝9036；9036－1536＝7536；7536－1536＝6036；6036－1536＝4536；4536－1536＝3036；3036－1536＝1536；即416、334的最大公约数是1536.8036－1536＝6536；6536－1536＝5036；5036－1536＝3536；3536－1536＝2036；2036－1536＝536；1536－536＝1036；1036－536＝536.即416、334、229的最大公约数是536.因此每瓶最多装536kg.12．甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同，问每瓶最多装多少？解析：由题意，每个小瓶应装的溶液的重量是三种溶液重量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：343＝147×2＋49，147＝49×3＋0.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133＝49×2＋35，49＝35×1＋14，35＝14×2＋7，14＝77×2＋0.所以147，343，133的最大公约数是7.因此每瓶最多装7g.13．相传一片远古森林栖息着凤凰，麒麟和九头鸟，凤凰有1个头，2只脚，麒麟有1个头，4只脚，九头鸟有9个头，2只脚，它们这3种动物的头共有100个，脚共有100只．问森林中3种动物各有多少只？试设计一个算法并写出伪代码．解析：设森林中有凤凰x只，麒麟y只，九头鸟z只．本题的关键是如何考虑x、y、z三个变量之间的关系．由题意可知算法如下：S1当凤凰x＝1时，变量麒麟y的取值可以从1到24；S2让变量y从1开始取值(例如：y的值为1)；S3通过表达式(100－x－y)/9，计算z的值；S4完成上述步骤后，x、y、z三个变量都取到了自己相应的值，但是这三个值是否是正确的呢？我们必须通过以下的两个条件来判断：x＋y＋9z＝100且2x＋4y＋2z＝100；S5如果两个条件全部满足，就输出x、y、z的值，如果不满足，就让y值加1，然后重复S2到S4，直至y的取值超过24.然后让x的取值加1后，重复S1到S5的操作，直至x的取值超过50为止，此时退出算法．伪代码如下：8ForxFrom1To50ForyFrom1To24z←(100－x－y)/9If2x＋4y＋2z＝100Andx＋y＋9z＝100ThenPrintx，y，zEndIfEndForEndFor14．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有这样一首诗：这里是一座古墓，里面安葬着丢番图．“请你告诉我，丢番图寿数几何？”“他的童年占去一生的六分之一，接着十二分之一是少年时期，又过了七分之一的时光，他找到了终身伴侣．五年之后，婚姻之神赐给他一个儿子．可是儿子命运不济，只活到父亲寿数的一半，就匆匆而去．这对父亲是一个沉重的打击．整整四年，为失去爱子而悲伤，终于告别数学，9离开人世．”试写出其算法分析及流程图与伪代码．解析：可设丢番图的寿数为x，则x为正整数，并且依题意可有16x＋112x＋17x＋5＋12x＋4＝x.其算法为：S1x←1.S2判断16x＋112x＋17x＋5＋12x＋4＝x是否成立．如果成立，则输出x，转至S3；如果不成立，则x←x＋1，转S2.S3结束．其流程图与相应的伪代码如下．x←1Ifx/6＋x/12＋x/7＋5＋x/2＋4＝xThenPrintxElsex←x＋1EndIf